Determine os limites:
\lim _{x \rightarrow 3}\left(5 x^{2}-7 x-3\right)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do seguinte limite:
\lim_{x \rightarrow 3}\left(5x^{2}-7x-3\right).
Informações dadas:
  • A expressão cujo limite queremos é o polinômio 5x^{2}-7x-3.
  • O ponto em que devemos calcular o limite é x=3.
    Não se resolve nada aqui, apenas identificamos o que é pedido e quais dados temos.

Passo 2

Entendendo a ideia (teoria necessária, explicada calmamente):
  • Vou chamar f(x)=5x^{2}-7x-3. A definição intuitiva de limite que usamos aqui é: queremos saber para qual valor f(x) se aproxima quando x fica muito próximo de 3.
  • Uma propriedade importantíssima e muito prática: polinômios são funções contínuas em todo ponto do eixo real. “Contínua” aqui significa que não há saltos, buracos ou assíntotas — ao aproximarmos x de um valor a, f(x) se aproxima de f(a).
  • Consequência direta: para qualquer polinômio f e qualquer real a,
\lim_{x\to a} f(x) = f(a).
  • Então, para calcular o limite basta avaliar o polinômio no ponto x=3. Isso é muito usado em provas: quando a função é contínua no ponto, substituir é a forma mais rápida.

Passo 3

Aplicando a regra de continuidade ao nosso caso:
Definimos f(x)=5x^{2}-7x-3 e queremos \lim_{x\to 3} f(x). Pelo que explicamos,
\lim_{x\to 3} f(x) = f(3).

Passo 4

Calculemos f(3) passo a passo (para não sobrar dúvida nas contas):
f(3)=5\cdot 3^{2}-7\cdot 3-3.
Primeiro calcule 3^{2}:
3^{2}=9.
Depois multiplique:
5\cdot 9 = 45,\qquad 7\cdot 3 = 21.
Agora faça as subtrações em ordem:
45-21 = 24,
24-3 = 21.
Logo,
f(3)=21.

Passo 5

Conclusão final da resolução (motivação para a prova):
  • Como polinômios são contínuos, o limite é simplesmente o valor do polinômio no ponto.
  • Fizemos a substituição direta e as contas básicas, obtendo 21.
  • Na prova, quando ver um polinômio e um limite em um ponto finito, lembre-se: normalmente basta substituir — isso economiza tempo e evita trabalho desnecessário. Confie na propriedade de continuidade.

Resposta

21

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