Use o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada das seguintes funções:
g(x)=\int_{x}^{2} \cos \left(t^{2}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função definida por
g(x)=\int_{x}^{2}\cos\left(t^{2}\right)\,dt.
Informações dadas:
  • A função integranda é \cos\left(t^{2}\right).
  • A variável de integração é t.
  • O limite inferior da integral é a variável x.
  • O limite superior da integral é a constante 2.
  • Pede-se explicitamente para usar o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Explicação didática do Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo (versão usada aqui):
Se f é contínua em um intervalo e definimos
F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt,
onde a é uma constante, então o teorema diz que F é diferenciável e
F'(x)=f(x).
O que isso significa de forma intuitiva: a derivada da integral acumulada até x é exatamente o valor instantâneo da integranda em x. Aqui:
  • f(t) é a função integranda (aquela que está dentro da integral).
  • a é um limite fixo (constante).
  • x é o limite variável onde avaliamos a derivada.
Regra para limites variáveis (cadeia / troca de sinal):
  • Se o limite superior for uma função u(x), então
\frac{d}{dx}\int_{a}^{u(x)} f(t)\,dt = f\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).
  • Se o limite inferior for uma função v(x) e o superior for constante b, podemos escrever
\int_{v(x)}^{b} f(t)\,dt = -\int_{b}^{v(x)} f(t)\,dt,
logo, aplicando o teorema,
\frac{d}{dx}\int_{v(x)}^{b} f(t)\,dt = -f\bigl(v(x)\bigr)\,v'(x).
Essas fórmulas vêm de combinar o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo com a regra da cadeia e com a propriedade de troca de sinais nas integrais.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso:
g(x)=\int_{x}^{2}\cos\left(t^{2}\right)\,dt.
Aqui o limite inferior é v(x)=x e o limite superior é a constante 2. Pelo item anterior, a derivada é
g'(x) = -\cos\bigl(x^{2}\bigr)\cdot\frac{d}{dx}(x).
Como \dfrac{d}{dx}(x)=1, fica
g'(x) = -\cos\bigl(x^{2}\bigr).

Passo 4

Verificação rápida das hipóteses: a função \cos\bigl(t^{2}\bigr) é contínua para todo t, então podemos aplicar o teorema sem problema. Como observação prática, se tivéssemos \displaystyle h(x)=\int_{0}^{x}\cos\bigl(t^{2}\bigr)\,dt então h'(x)=\cos\bigl(x^{2}\bigr) — o sinal negativo aparece só porque, no nosso g, o x está no limite inferior.

Resposta

g'(x)=-\cos\bigl(x^{2}\bigr)

Exercícios relacionados