Use o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada da função definida por
Informações dadas:
- A função integranda é
. - A variável de integração é
. - O limite inferior da integral é a variável
. - O limite superior da integral é a constante
. - Pede-se explicitamente para usar o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 2
Explicação didática do Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo (versão usada aqui):
Se
é contínua em um intervalo e definimos
onde
é uma constante, então o teorema diz que
é diferenciável e
O que isso significa de forma intuitiva: a derivada da integral acumulada até
é exatamente o valor instantâneo da integranda em
. Aqui:
-
é a função integranda (aquela que está dentro da integral). -
é um limite fixo (constante). -
é o limite variável onde avaliamos a derivada.
Regra para limites variáveis (cadeia / troca de sinal):
- Se o limite superior for uma função
, então
- Se o limite inferior for uma função
e o superior for constante , podemos escrever
logo, aplicando o teorema,
Essas fórmulas vêm de combinar o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo com a regra da cadeia e com a propriedade de troca de sinais nas integrais.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso:
Aqui o limite inferior é
e o limite superior é a constante
. Pelo item anterior, a derivada é
Como
, fica
Passo 4
Verificação rápida das hipóteses: a função
é contínua para todo
, então podemos aplicar o teorema sem problema. Como observação prática, se tivéssemos
então
— o sinal negativo aparece só porque, no nosso
, o
está no limite inferior.