Use o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada das seguintes funções:
Passo 1
Enunciado e dados: a função dada é
O que o problema pede: encontrar a derivada
. Informação importante: o limite inferior da integral é a constante
e o limite superior é a variável
.
Passo 2
Enunciado do Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo (forma usada aqui): se
é contínua em um intervalo que contém o ponto
e
, então a função
é diferenciável e vale
O que isso significa, explicado com calma: a derivada da integral acumulada com limite superior igual a
é simplesmente o valor da função integrando
avaliado naquele
. Aqui
é a função que está dentro da integral (o integrando),
é o limite inferior fixo e
é o limite superior variável.
Passo 3
Verificação das hipóteses do teorema: precisamos que o integrando seja contínuo. O integrando do nosso problema é
. Justificando a continuidade passo a passo:
- A função
é contínua para todo . - A função
é contínua para todo . - A composição de funções contínuas é contínua, logo
é contínua para todo .
Portanto as hipóteses do teorema estão satisfeitas e podemos aplicá-lo.
Passo 4
Aplicando o teorema diretamente: tomando
e
, pelo Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo temos
Explicação intuitiva curta: imaginar aumentar
por uma pequena quantidade
; a variação da integral fica aproximadamente
, e dividindo por
e fazendo
aparece
.
Passo 5
Comentário extra didático (útil para a prova): cuidado para não confundir com o caso em que o limite superior é uma função de
. Se, por exemplo, tivéssemos
então usaríamos o mesmo teorema mais a regra da cadeia e obteríamos
No nosso problema original isso não é necessário porque o limite superior é exatamente
.