Use o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada das seguintes funções:
g(x)=\int_{2}^{x} \cos \left(t^{2}\right) d t

Passo 1

Enunciado e dados: a função dada é g(x)=\int_{2}^{x} \cos\left(t^{2}\right)\,dt.
O que o problema pede: encontrar a derivada g'(x). Informação importante: o limite inferior da integral é a constante \,2\, e o limite superior é a variável \,x.

Passo 2

Enunciado do Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo (forma usada aqui): se f é contínua em um intervalo que contém o ponto a e x, então a função
F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt
é diferenciável e vale
F'(x)=f(x).
O que isso significa, explicado com calma: a derivada da integral acumulada com limite superior igual a x é simplesmente o valor da função integrando f avaliado naquele x. Aqui f(t) é a função que está dentro da integral (o integrando), a é o limite inferior fixo e x é o limite superior variável.

Passo 3

Verificação das hipóteses do teorema: precisamos que o integrando seja contínuo. O integrando do nosso problema é \cos\left(t^{2}\right). Justificando a continuidade passo a passo:
  • A função \cos(u) é contínua para todo u.
  • A função u(t)=t^{2} é contínua para todo t.
  • A composição de funções contínuas é contínua, logo \cos\left(t^{2}\right) é contínua para todo t.
    Portanto as hipóteses do teorema estão satisfeitas e podemos aplicá-lo.

Passo 4

Aplicando o teorema diretamente: tomando f(t)=\cos\left(t^{2}\right) e F(x)=\int_{2}^{x} f(t)\,dt, pelo Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo temos
g'(x)=f(x)=\cos\left(x^{2}\right).
Explicação intuitiva curta: imaginar aumentar x por uma pequena quantidade \Delta x; a variação da integral fica aproximadamente f(x)\,\Delta x, e dividindo por \Delta x e fazendo \Delta x\to0 aparece f(x).

Passo 5

Comentário extra didático (útil para a prova): cuidado para não confundir com o caso em que o limite superior é uma função de x. Se, por exemplo, tivéssemos
h(x)=\int_{2}^{x^{3}} \cos\left(t^{2}\right)\,dt,
então usaríamos o mesmo teorema mais a regra da cadeia e obteríamos
h'(x)=\cos\big((x^{3})^{2}\big)\cdot \frac{d}{dx}\big(x^{3}\big)=\cos\left(x^{6}\right)\cdot 3x^{2}.
No nosso problema original isso não é necessário porque o limite superior é exatamente x.

Resposta

\displaystyle g'(x)=\cos\left(x^{2}\right)

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