Use o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada das seguintes funções:
g(x)=\int_{\tan \left(x^{2}\right)}^{\operatorname{arccos} (4 x)} \frac{1}{\sqrt{2+t^{4}}} d t

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x)=\int_{\tan\left(x^{2}\right)}^{\operatorname{arccos}(4x)} \frac{1}{\sqrt{2+t^{4}}}\,dt
e pede a derivada g'(x). Informações relevantes que temos:
  • O integrando é f(t)=\dfrac{1}{\sqrt{2+t^{4}}}.
  • O limite inferior depende de x: a(x)=\tan\bigl(x^{2}\bigr).
  • O limite superior depende de x: b(x)=\operatorname{arccos}(4x).
  • Precisamos aplicar a regra que dá a derivada de uma integral com limites que dependem de x (a fórmula será usada nos próximos passos).

Passo 2

Vou lembrar a fórmula que vamos usar (é a forma prática do Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo combinada com a regra da cadeia). Se
G(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt,
então, quando tudo for diferenciável,
G'(x)=f\bigl(b(x)\bigr)\,b'(x)-f\bigl(a(x)\bigr)\,a'(x).
Explicando: a mudança de x afeta a integral via os limites; a derivada da integral é o integrando avaliado em cada limite vezes a derivada desse limite (e subtrai-se o termo do limite inferior). Essa fórmula já incorpora a regra da cadeia porque b e a dependem de x.

Passo 3

Vamos identificar f, a e b neste problema:
f(t)=\frac{1}{\sqrt{2+t^{4}}},\qquad a(x)=\tan\bigl(x^{2}\bigr),\qquad b(x)=\operatorname{arccos}(4x).

Passo 4

Calcule b'(x). Use a regra da cadeia: se h(x)=\operatorname{arccos}(u(x)) então h'(x)=-\dfrac{u'(x)}{\sqrt{1-u(x)^{2}}}. Aqui u(x)=4x, logo u'(x)=4. Portanto
b'(x)=\bigl(\operatorname{arccos}(4x)\bigr)'=-\frac{4}{\sqrt{1-(4x)^{2}}}=-\frac{4}{\sqrt{1-16x^{2}}}.
Observação rápida: essa derivada vale quando 4x\in(-1,1), ou seja x\in(-\tfrac14,\tfrac14), ponto sobre domínio que costuma aparecer nessas questões.

Passo 5

Calcule a'(x). Use novamente a regra da cadeia: se k(x)=\tan(v(x)) então k'(x)=v'(x)\operatorname{sec}^{2}(v(x)). Aqui v(x)=x^{2}, então v'(x)=2x. Assim
a'(x)=\bigl(\tan(x^{2})\bigr)'=2x\operatorname{sec}^{2}\bigl(x^{2}\bigr).
Lembre que \operatorname{sec}^{2}(y)=\dfrac{1}{\cos^{2}(y)}, caso queira reescrever.

Passo 6

Avalie o integrando f(t) nos limites t=b(x) e t=a(x):
f\bigl(b(x)\bigr)=\frac{1}{\sqrt{2+\bigl(\operatorname{arccos}(4x)\bigr)^{4}}},\qquad f\bigl(a(x)\bigr)=\frac{1}{\sqrt{2+\bigl(\tan(x^{2})\bigr)^{4}}}.

Passo 7

Agora aplique a fórmula do Passo 2:
g'(x)=f\bigl(b(x)\bigr)\,b'(x)-f\bigl(a(x)\bigr)\,a'(x).
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
g'(x)=-\frac{4}{\sqrt{1-16x^{2}}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2+\bigl(\operatorname{arccos}(4x)\bigr)^{4}}} -\;2x\operatorname{sec}^{2}\bigl(x^{2}\bigr)\cdot\frac{1}{\sqrt{2+\bigl(\tan(x^{2})\bigr)^{4}}}.

Resposta

g'(x)=-\frac{4}{\sqrt{1-16x^{2}}\;\sqrt{2+\bigl(\operatorname{arccos}(4x)\bigr)^{4}}}\;-\;\frac{2x\operatorname{sec}^{2}\bigl(x^{2}\bigr)}{\sqrt{2+\bigl(\tan(x^{2})\bigr)^{4}}}

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