Use o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada
. Informações relevantes que temos:
- O integrando é
. - O limite inferior depende de
: . - O limite superior depende de
: . - Precisamos aplicar a regra que dá a derivada de uma integral com limites que dependem de
(a fórmula será usada nos próximos passos).
Passo 2
Vou lembrar a fórmula que vamos usar (é a forma prática do Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo combinada com a regra da cadeia). Se
então, quando tudo for diferenciável,
Explicando: a mudança de
afeta a integral via os limites; a derivada da integral é o integrando avaliado em cada limite vezes a derivada desse limite (e subtrai-se o termo do limite inferior). Essa fórmula já incorpora a regra da cadeia porque
e
dependem de
.
Passo 3
Vamos identificar
,
e
neste problema:
Passo 4
Calcule
. Use a regra da cadeia: se
então
. Aqui
, logo
. Portanto
Observação rápida: essa derivada vale quando
, ou seja
, ponto sobre domínio que costuma aparecer nessas questões.
Passo 5
Calcule
. Use novamente a regra da cadeia: se
então
. Aqui
, então
. Assim
Lembre que
, caso queira reescrever.
Passo 6
Avalie o integrando
nos limites
e
:
Passo 7
Agora aplique a fórmula do Passo 2:
Substituindo os resultados dos passos anteriores: