Use o princípio de indução para mostrar cada uma das afirmações seguintes:
Mostre que \sum_{i=2}^{n} \frac{1}{i(i-1)}=1-\frac{1}{n}, para todo n \in \mathbb{N}, n \geq 2.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para todo n\in\mathbb{N} com n\ge 2,
\sum_{i=2}^{n} \frac{1}{i(i-1)} = 1 - \frac{1}{n}.
Informações dadas:
  • A soma é \sum_{i=2}^{n} \frac{1}{i(i-1)}.
  • A afirmação a ser mostrada é que essa soma vale 1 - \dfrac{1}{n}.
  • O método exigido é o princípio de indução (provar para n=2 e fazer o passo indutivo).

Passo 2

Breve explicação do princípio da indução (pra gente ficar combinado como vamos provar):
  • Para provar que uma propriedade P(n) vale para todo n\ge n_0, faz-se:
    1. Base: provar P(n_0) é verdadeira.
    2. Passo indutivo: assumir P(k) verdadeira para um k\ge n_0 (hipótese de indução) e então provar P(k+1).
  • Se esses dois itens são cumpridos, então P(n) vale para todo n\ge n_0.
No nosso caso P(n) é a afirmação \sum_{i=2}^{n} \dfrac{1}{i(i-1)} = 1 - \dfrac{1}{n} com n_0=2.

Passo 3

Base da indução ( n=2). Calcular a soma para n=2:
\sum_{i=2}^{2} \frac{1}{i(i-1)} = \frac{1}{2\cdot 1} = \frac{1}{2}.
E o lado direito para n=2 é
1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.
Portanto a igualdade vale para n=2. A base está comprovada.

Passo 4

Uma identidade algébrica útil (vamos usá-la no passo indutivo): para qualquer inteiro i\ge 2 vale
\frac{1}{i(i-1)} = \frac{1}{i-1} - \frac{1}{i}.
Prova rápida: juntar as duas frações no lado direito com denominador comum i(i-1):
\frac{1}{i-1}-\frac{1}{i}=\frac{i-(i-1)}{i(i-1)}=\frac{1}{i(i-1)}.
Essa identidade mostra que cada termo da soma é uma diferença telescópica de frações simples.

Passo 5

Hipótese de indução. Suponha que para algum k\ge 2 a afirmação seja verdadeira, isto é:
\sum_{i=2}^{k} \frac{1}{i(i-1)} = 1 - \frac{1}{k}.

Passo 6

Passo indutivo: provar que a afirmação vale para n=k+1. Começamos escrevendo a soma até k+1 como a soma até k mais o termo adicional:
\sum_{i=2}^{k+1} \frac{1}{i(i-1)} = \sum_{i=2}^{k} \frac{1}{i(i-1)} + \frac{1}{(k+1)k}.
Usando a hipótese de indução substituímos a primeira soma por 1-\dfrac{1}{k}:
\sum_{i=2}^{k+1} \frac{1}{i(i-1)} = 1 - \frac{1}{k} + \frac{1}{k(k+1)}.
Agora simplificamos a parte que contém k. Colocamos -\dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{k(k+1)} sobre o mesmo denominador k(k+1):
- \frac{1}{k} + \frac{1}{k(k+1)} = -\frac{k+1}{k(k+1)} + \frac{1}{k(k+1)} = -\frac{k}{k(k+1)} = -\frac{1}{k+1}.
Portanto
\sum_{i=2}^{k+1} \frac{1}{i(i-1)} = 1 - \frac{1}{k+1}.
Isso é exatamente a propriedade P(k+1). O passo indutivo está concluído.

Passo 7

Conclusão por indução: como a base ( n=2) é verdadeira e mostramos que P(k)\Rightarrow P(k+1), pela princípio da indução a igualdade
\sum_{i=2}^{n} \frac{1}{i(i-1)} = 1 - \frac{1}{n}
vale para todo n\in\mathbb{N} com n\ge 2.

Passo 8

Comentário didático extra (intuição rápida): usando a identidade do Passo 4 a soma é telescópica:
\sum_{i=2}^{n}\left(\frac{1}{i-1}-\frac{1}{i}\right) = \left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\dots+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)=1-\frac{1}{n},
que é uma verificação direta e dá boa intuição do porquê da fórmula ser verdadeira.

Resposta

1-\dfrac{1}{n}

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