Use o princípio de indução para mostrar cada uma das afirmações seguintes:
Mostre que
, para todo
.
Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para todo
com
,
Informações dadas:
- A soma é
. - A afirmação a ser mostrada é que essa soma vale
. - O método exigido é o princípio de indução (provar para
e fazer o passo indutivo).
Passo 2
Breve explicação do princípio da indução (pra gente ficar combinado como vamos provar):
- Para provar que uma propriedade
vale para todo , faz-se: - Base: provar
é verdadeira. - Passo indutivo: assumir
verdadeira para um (hipótese de indução) e então provar .
- Base: provar
- Se esses dois itens são cumpridos, então
vale para todo .
No nosso caso
é a afirmação
com
.
Passo 3
Base da indução (
). Calcular a soma para
:
E o lado direito para
é
Portanto a igualdade vale para
. A base está comprovada.
Passo 4
Uma identidade algébrica útil (vamos usá-la no passo indutivo): para qualquer inteiro
vale
Prova rápida: juntar as duas frações no lado direito com denominador comum
:
Essa identidade mostra que cada termo da soma é uma diferença telescópica de frações simples.
Passo 5
Hipótese de indução. Suponha que para algum
a afirmação seja verdadeira, isto é:
Passo 6
Passo indutivo: provar que a afirmação vale para
. Começamos escrevendo a soma até
como a soma até
mais o termo adicional:
Usando a hipótese de indução substituímos a primeira soma por
:
Agora simplificamos a parte que contém
. Colocamos
sobre o mesmo denominador
:
Portanto
Isso é exatamente a propriedade
. O passo indutivo está concluído.
Passo 7
Conclusão por indução: como a base (
) é verdadeira e mostramos que
, pela princípio da indução a igualdade
vale para todo
com
.
Passo 8
Comentário didático extra (intuição rápida): usando a identidade do Passo 4 a soma é telescópica:
que é uma verificação direta e dá boa intuição do porquê da fórmula ser verdadeira.