Use o princípio de indução para mostrar cada uma das afirmações seguintes:
Prove que 4^{n}>n^{4}, para todo n \in \mathbb{N}, n \geq 5.

Passo 1

O enunciado pede para provar a desigualdade 4^{n}>n^{4} para todo n\in\mathbb{N} com n\ge 5.
Informações dadas:
  • A expressão que queremos comparar é 4^{n} (uma potência com base fixa 4 e expoente n) e n^{4} (um polinômio de grau 4 em n).
  • O conjunto de n a considerar é \{5,6,7,\dots\}.
O que se pede:
  • Mostrar que para cada número natural n maior ou igual a 5 vale a desigualdade \,4^{n}>n^{4}\,.

Passo 2

Vamos usar o princípio da indução matemática (explicação breve do princípio): para provar que uma propriedade P(n) vale para todo n a partir de um n_0, faz-se:
  1. Base: verifica-se P(n_0).
  2. Passo indutivo: assume-se P(k) para um k\ge n_0 (hipótese de indução) e prova-se P(k+1).
    Se os dois itens são verdadeiros, conclui-se que P(n) vale para todo n\ge n_0.
Aqui P(n) é a proposição “ 4^{n}>n^{4}” e n_0=5.

Passo 3

Base da indução ( n=5). Calcular ambos os lados:
4^{5}=1024, \qquad 5^{4}=625.
Como 1024>625, a desigualdade vale para n=5. Portanto P(5) é verdadeira.

Passo 4

Passo indutivo — enunciado da hipótese. Suponha que para algum k\ge 5 seja verdadeira a hipótese de indução:
4^{k}>k^{4}.
Temos que provar que então 4^{k+1}>(k+1)^{4}.

Passo 5

A partir da hipótese 4^{k}>k^{4}, multiplicamos ambos os lados por 4 (multiplicação por número positivo preserva a desigualdade):
4^{k+1}=4\cdot 4^{k}>4\cdot k^{4}.
Portanto basta mostrar que 4\cdot k^{4}\ge (k+1)^{4} para todo k\ge 5. Se isso for verdade, então 4^{k+1}>(k+1)^{4} segue imediatamente.

Passo 6

Expandimos (k+1)^{4}:
(k+1)^{4}=k^{4}+4k^{3}+6k^{2}+4k+1.
Calculemos a diferença entre 4k^{4} e (k+1)^{4}:
4k^{4}-(k+1)^{4}=3k^{4}-4k^{3}-6k^{2}-4k-1.
Queremos provar que essa expressão é positiva para todo k\ge 5.

Passo 7

Para analisar 3k^{4}-4k^{3}-6k^{2}-4k-1 é conveniente dividir por k^{4} (positivo) e trabalhar com a quantidade adimensional
S(k)=3-\frac{4}{k}-\frac{6}{k^{2}}-\frac{4}{k^{3}}-\frac{1}{k^{4}}.
Mostraremos que S(k)>0 para k\ge 5. Note que, para k\ge 5,
\frac{4}{k}\le\frac{4}{5},\qquad \frac{6}{k^{2}}\le\frac{6}{25},\qquad \frac{4}{k^{3}}\le\frac{4}{125},\qquad \frac{1}{k^{4}}\le\frac{1}{625}.
Somando essas cotas superiores obtemos
\frac{4}{k}+\frac{6}{k^{2}}+\frac{4}{k^{3}}+\frac{1}{k^{4}} \le \frac{4}{5}+\frac{6}{25}+\frac{4}{125}+\frac{1}{625}.

Passo 8

Calculemos a soma à direita com denominador comum 625:
\frac{4}{5}=\frac{500}{625},\qquad \frac{6}{25}=\frac{150}{625},\qquad \frac{4}{125}=\frac{20}{625},\qquad \frac{1}{625}=\frac{1}{625}.
Logo
\frac{4}{5}+\frac{6}{25}+\frac{4}{125}+\frac{1}{625}=\frac{500+150+20+1}{625}=\frac{671}{625}.
Portanto, para k\ge 5,
\frac{4}{k}+\frac{6}{k^{2}}+\frac{4}{k^{3}}+\frac{1}{k^{4}}\le\frac{671}{625}\approx 1{,}0736.

Passo 9

Agora avaliamos S(k) usando essa cota:
S(k)=3-\left(\frac{4}{k}+\frac{6}{k^{2}}+\frac{4}{k^{3}}+\frac{1}{k^{4}}\right) \ge 3-\frac{671}{625}=\frac{1875-671}{625}=\frac{1204}{625}>0.
Assim S(k)>0 para todo k\ge 5, o que implica
3k^{4}-4k^{3}-6k^{2}-4k-1>0,
ou seja
4k^{4}>(k+1)^{4}
para todo k\ge 5.

Passo 10

Voltando ao que fizemos no Passo 5: a partir de 4^{k}>k^{4} obtemos 4^{k+1}>4k^{4}. Com o que acabamos de provar, 4k^{4}>(k+1)^{4} para k\ge 5. Compondo as desigualdades:
4^{k+1}>4k^{4}>(k+1)^{4}.
Portanto 4^{k+1}>(k+1)^{4}. Isso completa o passo indutivo.

Passo 11

Concluímos pela indução matemática que a desigualdade \,4^{n}>n^{4}\, vale para todo n\in\mathbb{N} com n\ge 5.

Resposta

Para todo n\in\mathbb{N} com n\ge 5 vale 4^{n}>n^{4}.

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