Use o princípio de indução para mostrar cada uma das afirmações seguintes:
Prove que
, para todo
.
Prove que
Passo 1
O enunciado pede para provar a desigualdade
para todo
com
.
Informações dadas:
- A expressão que queremos comparar é
(uma potência com base fixa e expoente ) e (um polinômio de grau em ). - O conjunto de
a considerar é .
O que se pede:
- Mostrar que para cada número natural
maior ou igual a vale a desigualdade .
Passo 2
Vamos usar o princípio da indução matemática (explicação breve do princípio): para provar que uma propriedade
vale para todo
a partir de um
, faz-se:
- Base: verifica-se
. - Passo indutivo: assume-se
para um (hipótese de indução) e prova-se .
Se os dois itens são verdadeiros, conclui-se quevale para todo .
Aqui
é a proposição “
” e
.
Passo 3
Base da indução (
). Calcular ambos os lados:
Como
, a desigualdade vale para
. Portanto
é verdadeira.
Passo 4
Passo indutivo — enunciado da hipótese. Suponha que para algum
seja verdadeira a hipótese de indução:
Temos que provar que então
.
Passo 5
A partir da hipótese
, multiplicamos ambos os lados por
(multiplicação por número positivo preserva a desigualdade):
Portanto basta mostrar que
para todo
. Se isso for verdade, então
segue imediatamente.
Passo 6
Expandimos
:
Calculemos a diferença entre
e
:
Queremos provar que essa expressão é positiva para todo
.
Passo 7
Para analisar
é conveniente dividir por
(positivo) e trabalhar com a quantidade adimensional
Mostraremos que
para
. Note que, para
,
Somando essas cotas superiores obtemos
Passo 8
Calculemos a soma à direita com denominador comum
:
Logo
Portanto, para
,
Passo 9
Agora avaliamos
usando essa cota:
Assim
para todo
, o que implica
ou seja
para todo
.
Passo 10
Voltando ao que fizemos no Passo 5: a partir de
obtemos
. Com o que acabamos de provar,
para
. Compondo as desigualdades:
Portanto
. Isso completa o passo indutivo.
Passo 11
Concluímos pela indução matemática que a desigualdade
vale para todo
com
.
Resposta
Para todo
com
vale
.