Use o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para obter uma base ortogonal de
a partir da base dada pelo vetores
Passo 1
O enunciado pede: usar o processo de Gram–Schmidt para obter uma base ortogonal de
a partir da base dada pelos vetores
Informações dadas:
- Os três vetores
formam uma base de . - A tarefa é aplicar Gram–Schmidt e fornecer um conjunto de vetores ortogonais que também gerem
.
Passo 2
Breve explicação do método (aulas rápidas e mão na massa).
- O produto interno usual em
é o produto escalar: para e ,
- A projeção de um vetor
sobre um vetor não nulo (na direção de ) é dada por
Aqui
é um número (o escalar) e
é o quadrado da norma de
.
- O processo de Gram–Schmidt gera vetores ortogonais
a partir de assim:
- Observação prática: ao final pode-se multiplicar qualquer vetor por um escalar não nulo para simplificar números (isso mantém a ortogonalidade e ainda gera a mesma subespaço).
Passo 3
Começamos construindo
.
- Tomo
. Logo
- Calculo
:
Passo 4
Agora construo
.
- Calculo
:
- A projeção é
- Subtraindo:
- Para ficar com números inteiros e mais limpo, posso multiplicar
por (escala permitida). Defino então
Vou usar
nas contas seguintes (é equivalente em termos do subespaço e da ortogonalidade).
Passo 5
Construo
.
- Primeiro calculo
:
Portanto
, ou seja,
já é ortogonal a
.
- Agora calculo
usando :
- Calculo
:
- A projeção sobre
é
- Subtraindo:
- Simplificando cada componente:
- Novamente, para ficar com entradas inteiras, multiplico por
(escala permitida) e defino
Vou usar
como representante.
Passo 6
Verificação rápida de ortogonalidade (calcule os produtos escalares para confirmar).
-
-
-
Todos os produtos escalares são zero, logoé um conjunto ortogonal.
Passo 7
Resumo e observações finais:
- Uma base ortogonal obtida é formada pelos vetores
- Se desejar uma base ortonormal, basta normalizar cada
dividindo por . - Dica de prova: multiplicações por escalares (não nulos) em vetores de uma base ortogonal preservam a ortogonalidade e geram o mesmo subespaço; por isso usei escalamentos para obter coordenadas inteiras e limpas.