Use o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para obter uma base ortogonal de \mathbb{R}^{3} a partir da base dada pelo vetores
v_{1}=(0,1,1), v_{2}=(1,0,-1), v_{3}=(-1,-1,1)

Passo 1

O enunciado pede: usar o processo de Gram–Schmidt para obter uma base ortogonal de \mathbb{R}^{3} a partir da base dada pelos vetores
v_{1}=(0,1,1),\quad v_{2}=(1,0,-1),\quad v_{3}=(-1,-1,1).
Informações dadas:
  • Os três vetores v_{1},v_{2},v_{3} formam uma base de \mathbb{R}^{3}.
  • A tarefa é aplicar Gram–Schmidt e fornecer um conjunto de vetores ortogonais que também gerem \mathbb{R}^{3}.

Passo 2

Breve explicação do método (aulas rápidas e mão na massa).
  • O produto interno usual em \mathbb{R}^{3} é o produto escalar: para x=(x_{1},x_{2},x_{3}) e y=(y_{1},y_{2},y_{3}),
\langle x,y\rangle = x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}.
  • A projeção de um vetor v sobre um vetor não nulo u (na direção de u) é dada por
\operatorname{proj}_{u}(v)=\frac{\langle v,u\rangle}{\langle u,u\rangle}\,u.
Aqui \langle v,u\rangle é um número (o escalar) e \langle u,u\rangle é o quadrado da norma de u.
  • O processo de Gram–Schmidt gera vetores ortogonais u_{1},u_{2},u_{3} a partir de v_{1},v_{2},v_{3} assim:
u_{1}=v_{1}, \qquad u_{2}=v_{2}-\operatorname{proj}_{u_{1}}(v_{2}), \qquad u_{3}=v_{3}-\operatorname{proj}_{u_{1}}(v_{3})-\operatorname{proj}_{u_{2}}(v_{3}).
  • Observação prática: ao final pode-se multiplicar qualquer vetor por um escalar não nulo para simplificar números (isso mantém a ortogonalidade e ainda gera a mesma subespaço).

Passo 3

Começamos construindo u_{1}.
  • Tomo u_{1}=v_{1}. Logo
u_{1}=(0,1,1).
  • Calculo \langle u_{1},u_{1}\rangle:
\langle u_{1},u_{1}\rangle = 0^{2}+1^{2}+1^{2}=2.

Passo 4

Agora construo u_{2}=v_{2}-\operatorname{proj}_{u_{1}}(v_{2}).
  • Calculo \langle v_{2},u_{1}\rangle:
\langle v_{2},u_{1}\rangle = (1,0,-1)\cdot(0,1,1)=1\cdot0+0\cdot1+(-1)\cdot1=-1.
  • A projeção é
\operatorname{proj}_{u_{1}}(v_{2})=\frac{\langle v_{2},u_{1}\rangle}{\langle u_{1},u_{1}\rangle}u_{1} =\frac{-1}{2}(0,1,1)=(0,-\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}).
  • Subtraindo:
u_{2}=v_{2}-\operatorname{proj}_{u_{1}}(v_{2}) =(1,0,-1)-(0,-\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}) =(1,\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}).
  • Para ficar com números inteiros e mais limpo, posso multiplicar u_{2} por 2 (escala permitida). Defino então
u_{2}' = 2u_{2}=(2,1,-1).
Vou usar u_{2}=(2,1,-1) nas contas seguintes (é equivalente em termos do subespaço e da ortogonalidade).

Passo 5

Construo u_{3}=v_{3}-\operatorname{proj}_{u_{1}}(v_{3})-\operatorname{proj}_{u_{2}}(v_{3}).
  • Primeiro calculo \langle v_{3},u_{1}\rangle:
\langle v_{3},u_{1}\rangle =(-1,-1,1)\cdot(0,1,1)= -1+1=0.
Portanto \operatorname{proj}_{u_{1}}(v_{3})=0, ou seja, v_{3} já é ortogonal a u_{1}.
  • Agora calculo \langle v_{3},u_{2}\rangle usando u_{2}=(2,1,-1):
\langle v_{3},u_{2}\rangle =(-1,-1,1)\cdot(2,1,-1)= -2-1-1 = -4.
  • Calculo \langle u_{2},u_{2}\rangle:
\langle u_{2},u_{2}\rangle =2^{2}+1^{2}+(-1)^{2}=4+1+1=6.
  • A projeção sobre u_{2} é
\operatorname{proj}_{u_{2}}(v_{3})=\frac{\langle v_{3},u_{2}\rangle}{\langle u_{2},u_{2}\rangle}u_{2} =\frac{-4}{6}(2,1,-1)=-\tfrac{2}{3}(2,1,-1)=\Big(-\tfrac{4}{3},-\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3}\Big).
  • Subtraindo:
u_{3}=v_{3}-\operatorname{proj}_{u_{2}}(v_{3}) =(-1,-1,1)-\Big(-\tfrac{4}{3},-\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3}\Big) =\Big(-1+\tfrac{4}{3},-1+\tfrac{2}{3},1-\tfrac{2}{3}\Big).
  • Simplificando cada componente:
u_{3}=\Big(\tfrac{1}{3},-\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\Big).
  • Novamente, para ficar com entradas inteiras, multiplico por 3 (escala permitida) e defino
u_{3}'=3u_{3}=(1,-1,1).
Vou usar u_{3}=(1,-1,1) como representante.

Passo 6

Verificação rápida de ortogonalidade (calcule os produtos escalares para confirmar).
  • \langle u_{1},u_{2}\rangle = (0,1,1)\cdot(2,1,-1)=0\cdot2+1\cdot1+1\cdot(-1)=1-1=0.
  • \langle u_{1},u_{3}\rangle = (0,1,1)\cdot(1,-1,1)=0\cdot1+1\cdot(-1)+1\cdot1=-1+1=0.
  • \langle u_{2},u_{3}\rangle = (2,1,-1)\cdot(1,-1,1)=2\cdot1+1\cdot(-1)+(-1)\cdot1=2-1-1=0.
    Todos os produtos escalares são zero, logo \{u_{1},u_{2},u_{3}\} é um conjunto ortogonal.

Passo 7

Resumo e observações finais:
  • Uma base ortogonal obtida é formada pelos vetores
u_{1}=(0,1,1),\quad u_{2}=(2,1,-1),\quad u_{3}=(1,-1,1).
  • Se desejar uma base ortonormal, basta normalizar cada u_{i} dividindo por \sqrt{\langle u_{i},u_{i}\rangle}.
  • Dica de prova: multiplicações por escalares (não nulos) em vetores de uma base ortogonal preservam a ortogonalidade e geram o mesmo subespaço; por isso usei escalamentos para obter coordenadas inteiras e limpas.

Resposta

(0,1,1)
(2,1,-1)
(1,-1,1)

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