Diagonalize, se possível, a matriz A dada abaixo. Se for diagonalizável, encontre matrizes P \in M_{4}(\mathbb{R}) invertível e D \in M_{4}(\mathbb{R}) diagonal tais que A=P D P^{-1}.
Breve aula: o que significa diagonalizável e como testar.
Definição prática: uma matriz A é diagonalizável se existe uma base de \mathbb{R}^4 formada por autovetores de A. Nesse caso, se escolhermos essas quatro autovetores como colunas de P, a matriz D será diagonal com os autovalores correspondentes nas entradas da diagonal.
Critério usado: para cada autovalor \lambda calcular o espaço próprio (eigenspace) \ker(A-\lambda I). A multiplicidade geométrica de \lambda é \dim\ker(A-\lambda I). A matriz é diagonalizável se, para todo autovalor, a multiplicidade geométrica é igual à multiplicidade algébrica; equivalently, se o espaço gerado pelos autovetores tem dimensão 4.
Como calcular autovetores: resolver o sistema linear
(A-\lambda I)x=0.
Vou resolver esse sistema para cada \lambda e encontrar bases dos espaços próprios. Vou escolher autovetores simples e mostrar que são linearmente independentes.
Passo 3
Autovalor [\lambda=0) (resolver A x=0).
Escrevendo o sistema A x=0 com x=(x_1,x_2,x_3,x_4)^\top:
As equações 1,2,3 são dependentes (a 2ª é 2\] vezes a 1ª). Assim as condições independentes são
\[x_1+x_2+x_3=0,\qquad x_4=0.\]
- Parametrização: escolha parâmetros livres \(s,t para, por exemplo, x_2 e x_3. Então
x_1 = -x_2 - x_3,\qquad x_4=0.
Tomando escolhas óbvias para construir uma base do espaço próprio, podemos pegar:
Verificação rápida de invertibilidade de P: P é bloco triangular em relação à última linha/coluna, e o determinante de seu bloco 3\times3 superior-esquerdo é