Calcule o determinante da matriz
A=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 2 & 2 \\\\ 0 & 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 1 & -1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right]
usando o método do escalonamento.
\begin{aligned} & \operatorname{det} A=\left|\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 2 & 2 \\\\ 0 & 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 1 & -1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right|-L_{1}+L_{4}=\left|\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 2 & 2 \\\\ 0 & 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 1 & -1 & 1 \\\\ 0 & 0 & -1 & -1 \end{array}\right|-L_{2}+L_{3} \\\ & =\left|\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 2 & 2 \\\\ 0 & 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & -3 & 0 \\\\ 0 & 0 & -1 & -1 \end{array}\right|-\frac{1}{3} L_{3}+L_{4}=\left|\begin{array}{llll} 1 & 0 & 2 & 2 \\\\ 0 & 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & -3 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right|=1.1 .(-3) .(-1)=3 . \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 2 \\\\ 0 & 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 1 & -1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}
usando o método do escalonamento. Aqui estão explicitadas as entradas da matriz (linha a linha):
  • Linha 1: (1,\;0,\;2,\;2).
  • Linha 2: (0,\;1,\;2,\;1).
  • Linha 3: (0,\;1,\;-1,\;1).
  • Linha 4: (1,\;0,\;1,\;1).

Passo 2

Antes de começar a mexer nas linhas, vamos revisar as regras sobre operações elementares e como elas afetam o determinante — isso é crucial para saber se uma operação altera ou não o valor do determinante:
  • Trocar duas linhas troca o sinal do determinante: se B é obtida trocando R_i e R_j de A, então \det B = -\det A.
  • Multiplicar uma linha por um escalar k multiplica o determinante por k: se B é obtida substituindo R_i por kR_i, então \det B = k\det A.
  • Adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante: se B é obtida por R_i \leftarrow R_i + \lambda R_j com \lambda\in\mathbb{R}, então \det B = \det A.
Também vamos usar que, se conseguimos transformar a matriz em uma matriz triangular superior por operações do tipo “adicionar múltiplo de uma linha a outra”, o determinante da matriz triangular é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal:
\det(\text{triangular superior})=\prod_{i=1}^{n} a_{ii}.
Essas operações de adicionar múltiplos são preferíveis pois não mudam o determinante.

Passo 3

Aplicamos a primeira operação que não altera o determinante: subtrair a primeira linha da quarta linha, isto é
R_4 \leftarrow R_4 - R_1.
Isso zera a primeira entrada da quarta linha. A matriz resultante é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 2 \\\\ 0 & 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 1 & -1 & 1 \\\\ 0 & 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}.
Como usamos uma operação do tipo R_i \leftarrow R_i + \lambda R_j, o determinante permaneceu o mesmo:
\det A = \det \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 2 \\\\ 0 & 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 1 & -1 & 1 \\\\ 0 & 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Agora eliminamos o elemento da coluna 2 na linha 3 subtraindo a linha 2 da linha 3:
R_3 \leftarrow R_3 - R_2.
Isso também não muda o determinante. A matriz passa a ser
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 2 \\\\ 0 & 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & -3 & 0 \\\\ 0 & 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}.
Mantemos, portanto,
\det A = \det \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 2 \\\\ 0 & 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & -3 & 0 \\\\ 0 & 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Falta zerar a entrada -1 na posição (4,3). Usamos uma combinação da linha 3 (que tem -3 nessa coluna). Fazemos
R_4 \leftarrow R_4 - \tfrac{1}{3}R_3.
Essa é de novo uma operação do tipo “somar múltiplo de outra linha” e, portanto, não altera o determinante. Calculemos a nova linha 4:
  • Terceira entrada: -1 - \tfrac{1}{3}\cdot(-3) = -1 +1 = 0.
  • Quarta entrada: -1 - \tfrac{1}{3}\cdot 0 = -1.
A matriz fica triangular superior:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 2 \\\\ 0 & 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & -3 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
E ainda vale
\det A = \det \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 2 \\\\ 0 & 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & -3 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 6

Agora que a matriz está em forma triangular superior, aplicamos a propriedade do determinante triangular: o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. As entradas diagonais são 1,\;1,\;-3,\;-1. Logo
\det A = 1\cdot 1\cdot(-3)\cdot(-1).
Fazendo a multiplicação:
1\cdot 1 = 1,\qquad (-3)\cdot(-1)=3,\qquad 1\cdot 3 = 3.
Portanto \det A = 3.

Resposta

\det A = 3

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