Use um produto misto para determinar o volume do paralelepípedo que tem \mathbf{u}, \mathbf{v} e \mathbf{w} como arestas adjacentes.
\mathbf{u}=\langle 1,-2,1\rangle, \mathbf{v}=\langle 3,0,-2\rangle, \mathbf{w}=\langle 5,-4,0\rangle

Passo 1

O enunciado pede o volume do paralelepípedo cujas arestas adjacentes são os vetores \mathbf{u}=\langle1,-2,1\rangle, \mathbf{v}=\langle3,0,-2\rangle e \mathbf{w}=\langle5,-4,0\rangle.
O conteúdo é o produto misto (ou produto escalar triplo), que diz que o volume é
V = \bigl|\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w})\bigr|.

Passo 2

Vamos calcular o produto vetorial \mathbf{v}\times\mathbf{w}.
\mathbf{v}\times\mathbf{w} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[6pt] 3 & 0 & -2 \\[3pt] 5 & -4 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0\cdot0-(-2)(-4))-\mathbf{j}(3\cdot0-(-2)\,5)+\mathbf{k}(3\cdot(-4)-0\cdot5).
Isso dá
\mathbf{v}\times\mathbf{w} = \mathbf{i}(0-8)-\mathbf{j}(0-(-10))+\mathbf{k}(-12-0) = \langle -8,\,-10,\,-12\rangle.]

Passo 3

Agora calculamos o escalar \mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w}):
\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w}) =\langle1,-2,1\rangle\cdot\langle-8,-10,-12\rangle =1\cdot(-8)+(-2)\cdot(-10)+1\cdot(-12) =-8+20-12=0.

Passo 4

O volume é o valor absoluto desse produto misto:
V = \bigl|\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w})\bigr| = |0| = 0.

Resposta

O volume do paralelepípedo é 0.

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