Determine a área do paralelogramo de vértices A, B, C e D.
A(1,1,0), B(3,1,0), C(1,4,2) e D(3,4,2).

Passo 1

O enunciado dá os pontos A(1,1,0), B(3,1,0), C(1,4,2) e D(3,4,2) que formam um paralelogramo em \mathbb{R}^3. Para achar a área, vamos usar geometria vetorial: escolhemos dois vetores que representem lados do paralelogramo e calculamos o módulo do seu produto vetorial.

Passo 2

Tomando A como origem de referência, os vetores lados são
\vec{AB} = B - A = (3-1,\;1-1,\;0-0) = (2,0,0),
\vec{AC} = C - A = (1-1,\;4-1,\;2-0) = (0,3,2).
Note que B + \vec{AC} = (3,1,0) + (0,3,2) = (3,4,2) = D, confirmando que esses vetores realmente geram o paralelogramo ABCD.

Passo 3

A área do paralelogramo é
\|\vec{AB}\times\vec{AC}\|.
Calculando o produto vetorial:
\vec{AB}\times\vec{AC} = \det\begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 3 & 2 \end{pmatrix} = (0\cdot2 - 0\cdot3)\,\mathbf{i} - (2\cdot2 - 0\cdot0)\,\mathbf{j} + (2\cdot3 - 0\cdot0)\,\mathbf{k} = (0,\,-4,\,6).

Passo 4

Agora basta calcular a norma desse vetor:
\|(0,-4,6)\| = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}.

Resposta

A área do paralelogramo é 2\sqrt{13}.

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