Use produtos notáveis para calcular as seguintes expressões:
$(x+2)^{3} ;

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a expressão (x+2)^{3}.
Informações dadas: a expressão é a potência cúbica de um binómio, ou seja, estamos elevando o binómio (x+2) à terceira potência.

Passo 2

Vou resolver de uma maneira bem básica e segura: primeiro calculo (x+2)^{2} (o quadrado do binómio) e depois multiplico o resultado por (x+2) mais uma vez. Essa estratégia é direta e fácil de fazer passo a passo na prova, sem decorar nada complicado.

Passo 3

Calcular (x+2)^{2} fazendo a multiplicação termo a termo:
(x+2)^{2} = (x+2)(x+2)
Multiplicando cada termo:
= x\cdot x + x\cdot 2 + 2\cdot x + 2\cdot 2
= x^{2} + 2x + 2x + 4
Agrupando os termos semelhantes 2x+2x:
(x+2)^{2} = x^{2} + 4x + 4.

Passo 4

Agora multiplico o resultado por (x+2):
(x+2)^{3} = (x^{2}+4x+4)(x+2).
Faço por distributividade: multiplico primeiro por x e depois por 2:
(x^{2}+4x+4)\cdot x = x^{3}+4x^{2}+4x,
(x^{2}+4x+4)\cdot 2 = 2x^{2}+8x+8.
Somando as duas parcelas:
(x+2)^{3} = x^{3}+4x^{2}+4x + 2x^{2}+8x+8.
Agora somo os termos semelhantes:
x^{3} + (4x^{2}+2x^{2}) + (4x+8x) + 8 = x^{3} + 6x^{2} + 12x + 8.

Passo 5

Como conferência, existe a fórmula pronta para o cubo de uma soma:
(a+b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}.
Usando a=x e b=2:
x^{3} + 3x^{2}\cdot 2 + 3x\cdot 2^{2} + 2^{3} = x^{3} + 6x^{2} + 12x + 8,
que bate com o resultado que obtivemos pelo cálculo passo a passo.

Passo 6

Verificação numérica rápida para dar confiança: se x=1,
(1+2)^{3} = 3^{3} = 27,
e substituindo na expressão obtida:
1^{3}+6\cdot1^{2}+12\cdot1+8 = 1+6+12+8 = 27.
Tudo confere.

Resposta

(x+2)^{3} = x^{3} + 6x^{2} + 12x + 8

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