Use produtos notáveis para calcular as seguintes expressões:
$(2 x+3 y)^{2} ;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão (2 x+3 y)^{2}.
Informações dadas: a expressão é um quadrado de soma, ou seja, temos dois termos (2x) e (3y) e queremos expandir o quadrado dessa soma para escrever como soma de termos.

Passo 2

Vamos lembrar o produto notável que serve exatamente para isso. A identidade é
(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.
Nessa fórmula, a e b representam quaisquer expressões (podem ser números, variáveis ou produtos). O termo a^{2} é o quadrado de a, b^{2} é o quadrado de b e 2ab é duas vezes o produto de a por b.

Passo 3

Uma forma de ver de onde vem essa fórmula é multiplicar:
(a+b)^{2}=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a^{2}+ab+ba+b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.
Aqui usei que ab=ba (a multiplicação é comutativa), por isso os dois termos ab somam 2ab.

Passo 4

Agora identificamos a e b na expressão dada: a=2x e b=3y. Substituindo na fórmula obtemos
(2x+3y)^{2}=(2x)^{2}+2\cdot(2x)\cdot(3y)+(3y)^{2}.

Passo 5

Calculemos cada termo com calma:
(2x)^{2}=2^{2}\,x^{2}=4x^{2},
pois ao elevar um produto ao quadrado elevamos cada fator ao quadrado (ou seja (k\cdot v)^{2}=k^{2}v^{2}).
O termo do meio:
2\cdot(2x)\cdot(3y)=2\cdot 2\cdot 3\cdot x\cdot y=12xy.
E o último termo:
(3y)^{2}=3^{2}\,y^{2}=9y^{2}.

Passo 6

Somando os termos obtidos:
(2x+3y)^{2}=4x^{2}+12xy+9y^{2}.
Organizamos em ordem decrescente de graus (primeiro x^{2}, depois xy, depois y^{2}). Pronto — essa é a expansão usando o produto notável.

Resposta

(4x^{2}+12xy+9y^{2})

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