Use a propriedade da função inversa para mostrar que f e g são inversas uma da outra.
\quad f(x)=\frac{1}{x} ; \quad g(x)=\frac{1}{x}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as funções
f(x)=\frac{1}{x}
e
g(x)=\frac{1}{x}
são inversas uma da outra. Para isso, usamos a definição de função inversa: precisamos verificar que
(f\circ g)(x)=x \quad\text{e}\quad (g\circ f)(x)=x
no domínio comum \mathbb{R}\setminus\{0\}.

Passo 2

Calcular (f\circ g)(x). Primeiro, g(x)=\tfrac{1}{x}. Então
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr) =f\!\Bigl(\frac{1}{x}\Bigr) =\frac{1}{\,\frac{1}{x}\,} =x.
Aqui usamos que \frac{1}{(1/x)}=x para todo x\neq0.

Passo 3

Calcular (g\circ f)(x). Primeiro, f(x)=\tfrac{1}{x}. Então
(g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr) =g\!\Bigl(\frac{1}{x}\Bigr) =\frac{1}{\,\frac{1}{x}\,} =x.
Novamente, \frac{1}{(1/x)}=x vale para todo x\neq0.

Passo 4

Como (f\circ g)(x)=x e (g\circ f)(x)=x em \mathbb{R}\setminus\{0\}, concluímos que f e g são inversas uma da outra.

Resposta

As funções f(x)=\tfrac{1}{x} e g(x)=\tfrac{1}{x} são inversas, ou seja, f^{-1}=g e g^{-1}=f.

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