Use a propriedade da função inversa para mostrar que f e g são inversas uma da outra.
\quad f(x)=x^{2}-9, \quad x \geq 0 ; \quad g(x)=\sqrt{x+9}, \quad x \geq-9

Passo 1

O enunciado define f\colon[0,\infty)\to[-9,\infty) por
f(x)=x^2-9
e g\colon[-9,\infty)\to[0,\infty) por
g(x)=\sqrt{x+9}\,.
Para mostrar que f e g são inversas, basta verificar que \,f(g(x))=x para todo x\ge-9 e \,g(f(x))=x para todo x\ge0.

Passo 2

Calcular f(g(x)) para x\ge -9:
f(g(x)) = \bigl(\sqrt{x+9}\bigr)^2 - 9 = (x+9)-9 = x.

Passo 3

Calcular g(f(x)) para x\ge 0:
g(f(x)) = \sqrt{\bigl(x^2-9\bigr)+9} = \sqrt{x^2} = x,
onde usamos que, como x\ge0, vale \sqrt{x^2}=x.

Resposta

Concluímos que
f(g(x))=x\quad(x\ge-9) \quad\text{e}\quad g(f(x))=x\quad(x\ge0),
logo f e g são funções inversas.

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