Use a propriedade da função inversa para mostrar que f e g são inversas uma da outra.
\quad f(x)=\frac{1}{x-1} ; \quad g(x)=\frac{1}{x}+1

Passo 1

O enunciado quer que a gente use a propriedade fundamental de funções inversas—isto é, que
(f\circ g)(x)=x \quad\text{e}\quad (g\circ f)(x)=x
para todos x em seus domínios comuns—para mostrar que
f(x)=\frac{1}{x-1} \quad\text{e}\quad g(x)=\frac{1}{x}+1
são inversas uma da outra.

Passo 2

Calcular (f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr). Substituímos g(x) na fórmula de f:
(f\circ g)(x) = f\bigl(g(x)\bigr) = \frac{1}{\,g(x)-1\,} = \frac{1}{\bigl(\frac{1}{x}+1\bigr)-1} = \frac{1}{\frac{1}{x}} = x.

Passo 3

Calcular (g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr). Substituímos f(x) na fórmula de g:
(g\circ f)(x) = g\bigl(f(x)\bigr) = \frac{1}{\,f(x)\,}+1 = \frac{1}{\frac{1}{x-1}}+1 = (x-1)+1 = x.

Passo 4

Como mostramos que (f\circ g)(x)=x e (g\circ f)(x)=x no domínio apropriado x\neq0 e x\neq1, concluímos que f e g são funções inversas uma da outra.

Resposta

f e g são inversas uma da outra.

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