Questão 04) (2,0 pontos) Qual o jacobiano da cuja transformação que muda o elipsoide para um paralelepípedo, dado por
  • x=a \cdot \operatorname{sen} \varphi \cdot \cos \theta
  • y=b . \operatorname{sen} \varphi . \operatorname{sen} \theta
  • z=c . \rho \cdot \cos \varphi.

Passo 1

O enunciado pede o jacobiano da transformação
x = a\,\rho\,\sin\varphi\cos\theta,\quad y = b\,\rho\,\sin\varphi\sin\theta,\quad z = c\,\rho\,\cos\varphi
que leva a região do elipsoide unitário em (\rho,\varphi,\theta) num paralelepípedo em (x,y,z). Vamos precisar da definição de jacobiano como determinante da matriz \partial(x,y,z)/\partial(\rho,\varphi,\theta) ou usar a decomposição em escala seguida de transformação esférica.

Passo 2

Observe que a transformação é a composição de
  1. escala (u,v,w)\mapsto(x,y,z)=(a\,u,\;b\,v,\;c\,w), cujo jacobiano é abc,
  2. transformação esférica (\rho,\varphi,\theta)\mapsto(u,v,w) com
u=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad v=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad w=\rho\cos\varphi,
cujo jacobiano bem-conhecido é \rho^{2}\sin\varphi.

Passo 3

Pelo teorema da cadeia de jacobianos, o jacobiano total é o produto dos dois jacobianos parciais:
J = (abc)\,\bigl(\rho^{2}\sin\varphi\bigr).

Resposta

J = a\,b\,c\;\rho^{2}\,\sin\varphi.

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