Questão 02) ( \mathbf{2 , 0} pontos) Calcule o volume do cilindro circular reto cuja a base é a circunferência x^{2}+y^{2}=1 no plano x y e cujo o topo está no plano z=6-2 y.

Passo 1

O enunciado pede o volume do cilindro reto cuja base é o disco
D = \{(x,y)\mid x^2+y^2\le1\}
no plano xy e cujo topo é a superfície plana z=6-2y. Vamos usar integração dupla sobre D, empilhando retângulos verticais de altura h(x,y)=6-2y.

Passo 2

Escrevemos o volume como
V = \iint_{D} \bigl(z_{\text{topo}} - z_{\text{base}}\bigr)\,dA = \iint_{D} (6-2y)\,dA.

Passo 3

Separamos a integral em duas partes:
V = 6\iint_{D} dA \;-\; 2\iint_{D} y\,dA.
Como D é simétrico em relação ao eixo x, o segundo termo anula-se:
\iint_{D} y\,dA = 0.

Passo 4

Resta calcular a área de D, que é a área do círculo unitário:
\iint_{D} dA = \pi\cdot1^2 = \pi.
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V = 6\pi - 2\cdot0 = 6\pi.

Resposta

6\pi

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