Use a propriedade da transformada de integral para calcular
sabendo que
é
Passo 1
O enunciado dá a transformada de Laplace de uma função
e pede para calcular
. Dados e objetivo, de forma bem explícita:
Pergunta: determinar a função
que tem essa transformada.
Informações relevantes extraídas do enunciado: está expressa em termos de
e podemos fatorar o denominador como
. Não há outras condições iniciais fornecidas (por exemplo
), então trabalharemos com a inversa padrão da transformada de Laplace para funções que são
em
quando necessário.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Apresentando a propriedade da transformada de integral que vamos usar (explicação didática): seja
. Se definirmos
, então
. Aplicando a transformada de Laplace à derivada e usando que
(porque integral de
a
é
), temos
Mas
. Assim
Ou seja, integrar uma função no domínio do tempo corresponde a dividir a transformada por
no domínio de Laplace. Repetindo a operação: integrar duas vezes corresponde a dividir por
, três vezes por
, etc. Isso é uma forma prática de inverter transformadas que têm fatores
.
Passo 3
Aplicando a ideia ao nosso caso: fatoramos a transformada dada
Reconhecemos
como a transformada de Laplace da função
, pois
Portanto podemos escrever
Passo 4
Interpretando o produto
à luz da propriedade de integração: multiplicar por
equivale a integrar no tempo uma vez. Multiplicar por
equivale a integrar duas vezes. Assim a expressão anterior significa que
é a integral duas vezes aplicada à função
, isto é,
Aqui troquei as variáveis para ficar claro: a integração íntima usa variável
(variável de integração interna), a integração externa é em
, e a função final é em
.
Passo 5
Vamos calcular as integrais passo a passo (aquelas que eu preciso saber fazer rapidamente numa prova). Primeiro a integral interna:
Uma primitiva de
é
, então avaliando de
a
obtemos
Expliquei:
, por isso aparece o
.
Passo 6
Agora a integral externa substituindo o resultado:
Calcule essa integral facilmente: uma primitiva de
é
e de
é
. Assim
No
os termos se anulam (
), então o resultado final é
.
Passo 7
Verificação rápida (opcional, mas boa prática): tomamos
e calculamos sua transformada:
e
. Então
que coincide com a transformada dada. Perfeito — resultado confirmado.