Use a propriedade da transformada de integral para calcular f(x) sabendo que \mathcal{L}{f} é
\frac{1}{s^{4}+s^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a transformada de Laplace de uma função f e pede para calcular f(x). Dados e objetivo, de forma bem explícita:
\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{1}{s^{4}+s^{2}}.
Pergunta: determinar a função f(x) que tem essa transformada.
Informações relevantes extraídas do enunciado: \mathcal{L}\{f\} está expressa em termos de s e podemos fatorar o denominador como s^{4}+s^{2}=s^{2}(s^{2}+1). Não há outras condições iniciais fornecidas (por exemplo f(0)), então trabalharemos com a inversa padrão da transformada de Laplace para funções que são 0 em x=0 quando necessário.

Passo 2

Apresentando a propriedade da transformada de integral que vamos usar (explicação didática): seja F(s)=\mathcal{L}\{f\}(s). Se definirmos g(x)=\displaystyle\int_{0}^{x} f(u)\,du, então g'(x)=f(x). Aplicando a transformada de Laplace à derivada e usando que g(0)=0 (porque integral de 0 a 0 é 0), temos
\mathcal{L}\{g'\}(s)=s\,\mathcal{L}\{g\}(s)-g(0)=s\,\mathcal{L}\{g\}(s).
Mas \mathcal{L}\{g'\}(s)=\mathcal{L}\{f\}(s)=F(s). Assim
F(s)=s\,\mathcal{L}\{g\}(s)\quad\Rightarrow\quad \mathcal{L}\{g\}(s)=\frac{F(s)}{s}.
Ou seja, integrar uma função no domínio do tempo corresponde a dividir a transformada por s no domínio de Laplace. Repetindo a operação: integrar duas vezes corresponde a dividir por s^{2}, três vezes por s^{3}, etc. Isso é uma forma prática de inverter transformadas que têm fatores 1/s^{n}.

Passo 3

Aplicando a ideia ao nosso caso: fatoramos a transformada dada
\frac{1}{s^{4}+s^{2}}=\frac{1}{s^{2}(s^{2}+1)}=\frac{1}{s^{2}}\cdot\frac{1}{s^{2}+1}.
Reconhecemos \dfrac{1}{s^{2}+1} como a transformada de Laplace da função \sin x, pois
\mathcal{L}\{\sin x\}(s)=\frac{1}{s^{2}+1}.
Portanto podemos escrever
\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{1}{s^{2}}\;\mathcal{L}\{\sin x\}(s).

Passo 4

Interpretando o produto \dfrac{1}{s^{2}}\mathcal{L}\{\sin x\}(s) à luz da propriedade de integração: multiplicar por \dfrac{1}{s} equivale a integrar no tempo uma vez. Multiplicar por \dfrac{1}{s^{2}} equivale a integrar duas vezes. Assim a expressão anterior significa que f(x) é a integral duas vezes aplicada à função \sin x, isto é,
f(x)=\int_{0}^{x}\left(\int_{0}^{u}\sin v\,dv\right)du.
Aqui troquei as variáveis para ficar claro: a integração íntima usa variável v (variável de integração interna), a integração externa é em u, e a função final é em x.

Passo 5

Vamos calcular as integrais passo a passo (aquelas que eu preciso saber fazer rapidamente numa prova). Primeiro a integral interna:
\int_{0}^{u}\sin v\,dv.
Uma primitiva de \sin v é -\cos v, então avaliando de 0 a u obtemos
\int_{0}^{u}\sin v\,dv = \bigl[-\cos v\bigr]_{0}^{u} = -\cos u -(-\cos 0)=1-\cos u.
Expliquei: \cos 0=1, por isso aparece o 1.

Passo 6

Agora a integral externa substituindo o resultado:
f(x)=\int_{0}^{x}\bigl(1-\cos u\bigr)du.
Calcule essa integral facilmente: uma primitiva de 1 é u e de \cos u é \sin u. Assim
\int_{0}^{x}\bigl(1-\cos u\bigr)du = \bigl[u-\sin u\bigr]_{0}^{x}=x-\sin x.
No 0 os termos se anulam ( 0-\sin 0=0), então o resultado final é x-\sin x.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas boa prática): tomamos f(x)=x-\sin x e calculamos sua transformada: \mathcal{L}\{x\}=1/s^{2} e \mathcal{L}\{\sin x\}=1/(s^{2}+1). Então
\mathcal{L}\{x-\sin x\}(s)=\frac{1}{s^{2}}-\frac{1}{s^{2}+1}=\frac{s^{2}+1 - s^{2}}{s^{2}(s^{2}+1)}=\frac{1}{s^{2}(s^{2}+1)},
que coincide com a transformada dada. Perfeito — resultado confirmado.

Resposta

f(x)=x-\sin x

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