Utilize a propriedade do deslocamento no eixo s para encontrar a Transformada de Laplace de:
e^{-4 x} \sin (4 x)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função e^{-4 x}\sin(4 x).
Informações dadas: a função é f(x)=e^{-4 x}\sin(4 x). A transformada de Laplace que queremos é
\mathcal{L}\{e^{-4 x}\sin(4 x)\}=\int_{0}^{\infty}e^{-s x}e^{-4 x}\sin(4 x)\,dx,
assumindo a definição usual da transformada (integral de 0 a \infty).

Passo 2

Vou lembrar a definição da transformada de Laplace e o que significa cada termo (aula rápida e sem mistério).
Definição: para uma função g(x) definida em x\ge 0,
\mathcal{L}\{g(x)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-s x}g(x)\,dx.
Aqui s é a variável complexa da transformada; a integral converge para valores de s em que a exponencial e^{-s x} faz a integral ser finita (isso define a região de convergência). No nosso caso a integranda será e^{-(s+4)x}\sin(4x).

Passo 3

Vou apresentar a propriedade do deslocamento no eixo s (que o professor pediu para usar) e mostrar por que funciona.
Propriedade (deslocamento): se \mathcal{L}\{f(x)\}(s)=F(s), então, para qualquer constante a,
\mathcal{L}\{e^{a x}f(x)\}(s)=F(s-a).
Prova rápida e direta:
\mathcal{L}\{e^{a x}f(x)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-s x}e^{a x}f(x)\,dx=\int_{0}^{\infty}e^{-(s-a)x}f(x)\,dx=F(s-a).
No nosso problema temos a=-4 e f(x)=\sin(4x). Então, se soubermos F(s)=\mathcal{L}\{\sin(4x)\}(s), basta substituir s por s-(-4)=s+4.

Passo 4

Agora calculo a transformada de \sin(4x). Vou fazer passo a passo com integração por partes (é útil saber fazer sem decorar só a fórmula). Defina
I(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-s x}\sin(4x)\,dx,
com s>0 para garantir convergência nesta etapa. Fazemos integração por partes duas vezes.
Primeira aplicação de integração por partes: escolha u=\sin(4x) e dv=e^{-s x}dx. Então du=4\cos(4x)\,dx e v=-\dfrac{1}{s}e^{-s x}. Logo
I(s)=\left[-\frac{1}{s}e^{-s x}\sin(4x)\right]_{0}^{\infty}+\frac{4}{s}\int_{0}^{\infty}e^{-s x}\cos(4x)\,dx.
O termo de fronteira é zero em \infty (pois e^{-s x}\to0) e zero em 0 (pois \sin(0)=0), então
I(s)=\frac{4}{s}J(s),
onde definimos
J(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-s x}\cos(4x)\,dx.
Segunda aplicação de integração por partes para J(s): escolha u=\cos(4x) e dv=e^{-s x}dx. Então du=-4\sin(4x)\,dx e v=-\dfrac{1}{s}e^{-s x}. Assim
J(s)=\left[-\frac{1}{s}e^{-s x}\cos(4x)\right]_{0}^{\infty}-\left(-\frac{4}{s}\right)\int_{0}^{\infty}e^{-s x}\sin(4x)\,dx.
O termo de fronteira vale 1/s (pois em \infty zera e em 0 fica -\frac{1}{s}\cdot 1, subtraindo dá 1/s). Portanto
J(s)=\frac{1}{s}-\frac{4}{s}I(s).
Agora voltamos para a relação I(s)=\dfrac{4}{s}J(s) e substituímos J(s):
I(s)=\frac{4}{s}\left(\frac{1}{s}-\frac{4}{s}I(s)\right)=\frac{4}{s^2}-\frac{16}{s^2}I(s).
Isolando I(s):
I(s)+\frac{16}{s^2}I(s)=\frac{4}{s^2}\quad\Rightarrow\quad I(s)\left(1+\frac{16}{s^2}\right)=\frac{4}{s^2}.
Multiplicando por s^2 e rearranjando:
I(s)=\frac{4}{s^2+16}.
Então obtivemos a fórmula conhecida (verificação feita): para \omega=4,
\mathcal{L}\{\sin(4x)\}(s)=\frac{4}{s^2+16},\qquad \text{(válido para \(\Re(s)>0\)).}á

Passo 5

Agora aplicamos a propriedade do deslocamento com a=-4. Se F(s)=\dfrac{4}{s^2+16} é a transformada de \sin(4x), então
\mathcal{L}\{e^{-4 x}\sin(4x)\}(s)=F(s-(-4))=F(s+4).
Substituindo s por s+4 em F,
\mathcal{L}\{e^{-4 x}\sin(4x)\}(s)=\frac{4}{(s+4)^2+16}.
Região de convergência: como originalmente \sin(4x) exige \Re(s)>0, após multiplicar por e^{-4x} a região desloca-se e fica \Re(s)>-4.

Resposta

\dfrac{4}{(s+4)^2+16}

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