Utilize a propriedade do deslocamento no eixo
para encontrar a Transformada de Laplace de:
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace da função
.
Informações dadas: a função é . A transformada de Laplace que queremos é
Informações dadas: a função é
assumindo a definição usual da transformada (integral de
a
).
Passo 2
Vou lembrar a definição da transformada de Laplace e o que significa cada termo (aula rápida e sem mistério).
Definição: para uma função definida em
,
Definição: para uma função
Aqui
é a variável complexa da transformada; a integral converge para valores de
em que a exponencial
faz a integral ser finita (isso define a região de convergência). No nosso caso a integranda será
.
Passo 3
Vou apresentar a propriedade do deslocamento no eixo
(que o professor pediu para usar) e mostrar por que funciona.
Propriedade (deslocamento): se , então, para qualquer constante
,
Propriedade (deslocamento): se
Prova rápida e direta:
No nosso problema temos
e
. Então, se soubermos
, basta substituir
por
.
Passo 4
Agora calculo a transformada de
. Vou fazer passo a passo com integração por partes (é útil saber fazer sem decorar só a fórmula). Defina
com
para garantir convergência nesta etapa. Fazemos integração por partes duas vezes.
Primeira aplicação de integração por partes: escolha
e
. Então
e
. Logo
O termo de fronteira é zero em
(pois
) e zero em
(pois
), então
onde definimos
Segunda aplicação de integração por partes para
: escolha
e
. Então
e
. Assim
O termo de fronteira vale
(pois em
zera e em
fica
, subtraindo dá
). Portanto
Agora voltamos para a relação
e substituímos
:
Isolando
:
Multiplicando por
e rearranjando:
Então obtivemos a fórmula conhecida (verificação feita): para
,
Passo 5
Agora aplicamos a propriedade do deslocamento com
. Se
é a transformada de
, então
Substituindo
por
em
,
Região de convergência: como originalmente
exige
, após multiplicar por
a região desloca-se e fica
.