Encontre por integração:
1 * \cos (\omega x)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular por integração a função 1*\cos(\omega x).
Informações dadas e explícitas: a integranda é \cos(\omega x) (o fator 1 não altera nada), a variável de integração é x e \omega é um parâmetro (uma constante relativa a x). Não foi dada nenhuma outra condição sobre \omega, então devemos tratar o caso geral \omega\neq 0 e também considerar separadamente \omega=0 (porque aí a integranda muda qualitativamente).

Passo 2

Estratégia: usar uma substituição simples para reduzir a integral a uma forma padrão. Vou te ensinar a ideia da substituição: se temos uma integral \int f(\omega x)\,dx com \omega constante, definimos a nova variável u=\omega x. A razão é que essa mudança transforma a composição f(\omega x) em f(u) e o diferencial dx vira algo em du que elimina o fator \omega. Vou mostrar isso passo a passo.

Passo 3

Faço a substituição ensinada: defina
u=\omega x.
Agora calcule o diferencial du. Como \omega é constante,
du=\omega\,dx.
Daí isolamos dx:
dx=\frac{du}{\omega}.
Essa é a parte mecânica da substituição: substituir x por u/\omega e dx por du/\omega.

Passo 4

Use a substituição na integral. Começamos com
\int \cos(\omega x)\,dx.
Substituindo u=\omega x e dx=du/\omega obtemos
\int \cos(\omega x)\,dx = \int \cos(u)\cdot\frac{du}{\omega}.
Como \frac{1}{\omega} é constante relativa a u, podemos colocá-la fora da integral:
\int \cos(\omega x)\,dx = \frac{1}{\omega}\int \cos(u)\,du.

Passo 5

Agora integramos a função básica \cos(u). Lembrete rápido: a derivada de \sin(u) é \cos(u). Então uma primitiva (antiderivada) de \cos(u) é \sin(u). Portanto
\int \cos(u)\,du=\sin(u)+C,
onde C é a constante de integração (sempre necessária numa integral indefinida).

Passo 6

Voltando para x (substituindo u=\omega x de volta), obtemos
\int \cos(\omega x)\,dx = \frac{1}{\omega}\sin(u)+C = \frac{1}{\omega}\sin(\omega x)+C,
válido enquanto \omega\neq 0. Vou checar rapidamente por derivação: aplicando a regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\omega}\sin(\omega x)\right)=\frac{1}{\omega}\cos(\omega x)\cdot\omega=\cos(\omega x),
confirmando que a primitiva está correta.

Passo 7

Caso especial \omega=0: se \omega=0 então a integranda é \cos(0\cdot x)=\cos(0)=1. Nesse caso a integral é
\int 1\,dx = x + C.
Nota de continuidade: a fórmula \frac{1}{\omega}\sin(\omega x) tem comportamento limite que dá x quando \omega\to 0, pois \lim_{\omega\to 0}\frac{\sin(\omega x)}{\omega}=x (use série de Taylor \sin z\approx z ou L’Hôpital). Isso mostra consistência entre os dois casos.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{\omega}\sin(\omega x)+C para \omega\neq 0
\displaystyle x+C para \omega=0

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