Encontre por integração:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular por integração a função
.
Informações dadas e explícitas: a integranda é (o fator
não altera nada), a variável de integração é
e
é um parâmetro (uma constante relativa a
). Não foi dada nenhuma outra condição sobre
, então devemos tratar o caso geral
e também considerar separadamente
(porque aí a integranda muda qualitativamente).
Informações dadas e explícitas: a integranda é
Passo 2
Estratégia: usar uma substituição simples para reduzir a integral a uma forma padrão. Vou te ensinar a ideia da substituição: se temos uma integral
com
constante, definimos a nova variável
. A razão é que essa mudança transforma a composição
em
e o diferencial
vira algo em
que elimina o fator
. Vou mostrar isso passo a passo.
Passo 3
Faço a substituição ensinada: defina
Agora calcule o diferencial
. Como
é constante,
Daí isolamos
:
Essa é a parte mecânica da substituição: substituir
por
e
por
.
Passo 4
Use a substituição na integral. Começamos com
Substituindo
e
obtemos
Como
é constante relativa a
, podemos colocá-la fora da integral:
Passo 5
Agora integramos a função básica
. Lembrete rápido: a derivada de
é
. Então uma primitiva (antiderivada) de
é
. Portanto
onde
é a constante de integração (sempre necessária numa integral indefinida).
Passo 6
Voltando para
(substituindo
de volta), obtemos
válido enquanto
. Vou checar rapidamente por derivação: aplicando a regra da cadeia,
confirmando que a primitiva está correta.
Passo 7
Caso especial
: se
então a integranda é
. Nesse caso a integral é
Nota de continuidade: a fórmula
tem comportamento limite que dá
quando
, pois
(use série de Taylor
ou L’Hôpital). Isso mostra consistência entre os dois casos.