Use as propriedades (A1) e (M1), citadas abaixo, de subespaço para determinar quais dos seguintes são subespaços de
.
Todos os vetores da forma (a, 0, 0).
DA ADIÇÃO:
A1)
A2)
A3) Existe
tal que
(elemento neutro)
A4) Existe
tal que
. (elemento oposto)
DA MULTIPLICAÇÃO:
M1) (ab).u = a(bu) (comutativa)
M2)
(distributiva - vetor)
M3)
(distributiva - escalar)
M4)
(elemento neutro)
Todos os vetores da forma (a, 0, 0).
A4) Existe
M2)
M3)
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar se o conjunto formado por todos os vetores da forma
é um subespaço de
.
Informações dadas relevantes:
- O conjunto em questão é
. - Temos à disposição as propriedades listadas; duas citadas explicitamente que vamos usar são:
- A1)
(comutatividade da adição). - M1)
(associatividade da multiplicação escalar).
- A1)
- Objetivo: usar essas propriedades e argumentos elementares para decidir se
é ou não subespaço de .
Passo 2
Conceito que vamos aplicar (explicado devagarinho): um subconjunto
de
é subespaço quando três coisas (essenciais) acontecem:
-
não é vazio (normalmente mostramos que contém o vetor zero). - Fechamento em relação à adição: se
e então . - Fechamento em relação à multiplicação por escalar: se
e então .
Explicação das operações usadas (para você poder reproduzir na prova):
- Adição de vetores em
é feita componente a componente: se e então - Multiplicação por escalar: para
e ,
Vou usar essas regras coordenada a coordenada, e quando fizer alguma equalidade de soma ou produto escalar vou lembrar a A1 (comutatividade da soma) e M1 (associatividade de escalares) quando for pertinente.
Passo 3
Mostrar que
não é vazio (contém o vetor zero).
- Tomando
obtemos o vetor . - Portanto
, logo é não-vazio e contém o vetor nulo, condição necessária para subespaço.
Passo 4
Fechamento em relação à adição (passo a passo).
- Tome
e . Então existem tais que e . - Somando coordenada a coordenada:
- Como
e usando a definição de adição coordenada a coordenada temos - O número
é um real, logo tem a forma e portanto . - Observação usando A1: se eu trocar a ordem eu teria
e pela comutatividade , então como a propriedade A1 garante; isso mostra que a soma permanece na mesma forma independentemente da ordem — mas o ponto principal é que a soma ficou novamente com segunda e terceira componentes .
Passo 5
Fechamento em relação à multiplicação por escalar (passo a passo).
- Tome
com e seja . - Calculamos a multiplicação por escalar coordenada a coordenada:
- Como
para todo , obtemos - Como
, o vetor está novamente na forma , logo . - Observação usando M1: se quisermos verificar propriedades envolvendo dois escalares, por exemplo
versus , calculamos e que são iguais, ilustrando que a propriedade M1 se conserva dentro de . Isso não era estritamente necessário para o teste de subespaço, mas é útil ver que as leis de escalares se mantêm no subconjunto.
Passo 6
Existência de inverso aditivo dentro de
(completa o raciocínio).
- Para
o oposto aditivo é . - Como
, então . - Verificamos que
, cumprindo A4 (existência do oposto) dentro de .
Passo 7
Conclusão final (encerrando o raciocínio passo a passo).
- Mostramos que
contém o vetor zero, é fechado por soma e fechado por multiplicação escalar, e que os opostos estão no conjunto. - Portanto
satisfaz as condições para ser subespaço de .
Resposta
Sim,
é subespaço de
.