Use as propriedades (A1) e (M1), citadas abaixo, de subespaço para determinar quais dos seguintes são subespaços de \mathrm{R}^{3}.
Todos os vetores da forma (a, 0, 0).
DA ADIÇÃO:
A1) u+v=v+u
A2) (u+v)+w=u+(v+w)
A3) Existe { }^{0 \in V} tal que u+0=u (elemento neutro)
A4) Existe -u \in V tal que u+(-u)=0. (elemento oposto)
DA MULTIPLICAÇÃO:
M1) (ab).u = a(bu) (comutativa)
M2) (a+b) \cdot u=a \cdot u+b \cdot u (distributiva - vetor)
M3) a \cdot(u+v)=a \cdot u+a \cdot v (distributiva - escalar)
M4) 1 . u=u (elemento neutro)

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar se o conjunto formado por todos os vetores da forma (a,0,0) é um subespaço de \mathrm{R}^{3}.
Informações dadas relevantes:
  • O conjunto em questão é S=\{(a,0,0)\mid a\in\mathrm{R}\}.
  • Temos à disposição as propriedades listadas; duas citadas explicitamente que vamos usar são:
    • A1) u+v=v+u (comutatividade da adição).
    • M1) (ab)\cdot u = a\cdot(bu) (associatividade da multiplicação escalar).
  • Objetivo: usar essas propriedades e argumentos elementares para decidir se S é ou não subespaço de \mathrm{R}^{3}.

Passo 2

Conceito que vamos aplicar (explicado devagarinho): um subconjunto S de \mathrm{R}^{3} é subespaço quando três coisas (essenciais) acontecem:
  1. S não é vazio (normalmente mostramos que contém o vetor zero).
  2. Fechamento em relação à adição: se u\in S e v\in S então u+v\in S.
  3. Fechamento em relação à multiplicação por escalar: se u\in S e \lambda\in\mathrm{R} então \lambda u\in S.
Explicação das operações usadas (para você poder reproduzir na prova):
  • Adição de vetores em \mathrm{R}^{3} é feita componente a componente: se u=(u_1,u_2,u_3) e v=(v_1,v_2,v_3) então u+v=(u_1+v_1,\;u_2+v_2,\;u_3+v_3).
  • Multiplicação por escalar: para \lambda\in\mathrm{R} e u=(u_1,u_2,u_3), \lambda u=(\lambda u_1,\;\lambda u_2,\;\lambda u_3).
Vou usar essas regras coordenada a coordenada, e quando fizer alguma equalidade de soma ou produto escalar vou lembrar a A1 (comutatividade da soma) e M1 (associatividade de escalares) quando for pertinente.

Passo 3

Mostrar que S não é vazio (contém o vetor zero).
  • Tomando a=0 obtemos o vetor (0,0,0).
  • Portanto (0,0,0)\in S, logo S é não-vazio e contém o vetor nulo, condição necessária para subespaço.

Passo 4

Fechamento em relação à adição (passo a passo).
  • Tome u\in S e v\in S. Então existem a,b\in\mathrm{R} tais que u=(a,0,0) e v=(b,0,0).
  • Somando coordenada a coordenada: u+v=(a,0,0)+(b,0,0)=(a+b,\;0+0,\;0+0).
  • Como 0+0=0 e usando a definição de adição coordenada a coordenada temos u+v=(a+b,0,0).
  • O número a+b é um real, logo u+v tem a forma (\text{algo},0,0) e portanto u+v\in S.
  • Observação usando A1: se eu trocar a ordem eu teria v+u=(b+a,0,0) e pela comutatividade a+b=b+a, então u+v=v+u como a propriedade A1 garante; isso mostra que a soma permanece na mesma forma independentemente da ordem — mas o ponto principal é que a soma ficou novamente com segunda e terceira componentes 0.

Passo 5

Fechamento em relação à multiplicação por escalar (passo a passo).
  • Tome u\in S com u=(a,0,0) e seja \lambda\in\mathrm{R}.
  • Calculamos a multiplicação por escalar coordenada a coordenada: \lambda u=\lambda\cdot(a,0,0)=(\lambda a,\;\lambda\cdot 0,\;\lambda\cdot 0).
  • Como \lambda\cdot 0=0 para todo \lambda, obtemos \lambda u=(\lambda a,0,0).
  • Como \lambda a\in\mathrm{R}, o vetor \lambda u está novamente na forma (\text{algo},0,0), logo \lambda u\in S.
  • Observação usando M1: se quisermos verificar propriedades envolvendo dois escalares, por exemplo (\alpha\beta)u versus \alpha(\beta u), calculamos (\alpha\beta)u=((\alpha\beta)a,0,0)e \alpha(\beta u)=\alpha((\beta a,0,0))=(\alpha\beta a,0,0),que são iguais, ilustrando que a propriedade M1 se conserva dentro de S. Isso não era estritamente necessário para o teste de subespaço, mas é útil ver que as leis de escalares se mantêm no subconjunto.

Passo 6

Existência de inverso aditivo dentro de S (completa o raciocínio).
  • Para u=(a,0,0)\in S o oposto aditivo é -u=(-a,0,0).
  • Como -a\in\mathrm{R}, então -u\in S.
  • Verificamos que u+(-u)=(a,0,0)+(-a,0,0)=(a+(-a),0,0)=(0,0,0), cumprindo A4 (existência do oposto) dentro de S.

Passo 7

Conclusão final (encerrando o raciocínio passo a passo).
  • Mostramos que S contém o vetor zero, é fechado por soma e fechado por multiplicação escalar, e que os opostos estão no conjunto.
  • Portanto S satisfaz as condições para ser subespaço de \mathrm{R}^{3}.

Resposta

Sim, S=\{(a,0,0)\mid a\in\mathrm{R}\} é subespaço de \mathrm{R}^{3}.

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