Use as propriedades (A1) e (M1), citadas abaixo, de subespaço para determinar quais dos seguintes são subespaços de
.
Todos os vetores da forma (a, b, c) com b=a+c.
DA ADIÇÃO:
A1)
A2)
A3) Existe
tal que
(elemento neutro)
A4) Existe
tal que
. (elemento oposto)
DA MULTIPLICAÇÃO:
M1) (ab).u = a(bu) (comutativa)
M2)
(distributiva - vetor)
M3)
(distributiva - escalar)
M4)
(elemento neutro)
A4) Existe
M2)
M3)
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o conjunto
é um subespaço de
. Informações dadas relevantes: todo vetor em
tem a segunda componente igual à soma da primeira com a terceira; foram citadas as propriedades de espaço vetorial A1)
(comutatividade da adição) e M1)
(associatividade da multiplicação escalar). A resolução começará a partir daqui.
Passo 2
Lembrando (aqui é uma mini-aula): para mostrar que um subconjunto
de
é subespaço convém verificar três coisas simples e suficientes:
-
não é vazio (normalmente mostramos que o vetor zero está em ); -
é fechado sob adição: se e então ; -
é fechado sob multiplicação escalar: se e então .
Vou aplicar essas três verificações passo a passo. Essas condições garantem queherda as propriedades A1…A4 e M1…M4 de , então basta checar essas três.
Passo 3
Verificar que o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Substituindo na condição de
:
A igualdade é verdadeira, logo
. Portanto
não é vazio. (Isso é importante porque subespaço deve conter o zero.)
Passo 4
Verificar fechamento por adição (passo com bastante detalhe). Seja
Pelo fato de estarem em
temos
A soma em
é feita componente a componente, então
Agora precisamos checar se a segunda componente de
é igual à soma da primeira com a terceira, ou seja, verificar se
Substituindo
e
pelas expressões que sabemos:
Usando a comutatividade e associatividade da soma de reais (aqui podemos citar A1 no sentido análogo para vetores: a adição é comutativa), podemos reorganizar os termos:
Portanto
que mostra exatamente que a segunda componente de
é a soma da primeira com a terceira. Assim
. Conclusão:
é fechado por adição.
Passo 5
Verificar fechamento por multiplicação escalar (detalhado). Seja
com
e seja
. A multiplicação escalar em
é componente a componente, então
Queremos ver se
satisfaz a condição de
, isto é, se a segunda componente
é igual à soma da primeira com a terceira:
. Como
, temos
Pela distributividade da multiplicação real sobre a soma (regra dos reais), ou pensando na propriedade M3 citada entre as axiomas (distributiva do escalar sobre soma de vetores) adaptada para componentes escalares, obtemos
Logo
e portanto a segunda componente de
é a soma da primeira com a terceira, o que implica
. Se quiser relacionar com M1 (a que foi citada), M1 garante a coerência da multiplicação por escalares compostos, isto é, que escalar duas vezes funciona bem; aqui precisamos principalmente da distributividade, mas M1 é uma das propriedades que mantém a estrutura de espaço vetorial consistente.
Passo 6
Tendo mostrado que
contém o vetor zero (Passo 3), é fechado por adição (Passo 4) e é fechado por multiplicação escalar (Passo 5), concluímos que
é um subespaço de
. Observação intuitiva extra (para fixar): a condição
é uma equação linear homogênea nas componentes — é a mesma coisa que o plano
que passa pela origem, e todo conjunto de soluções de uma equação linear homogênea é subespaço.