Use as propriedades (A1) e (M1), citadas abaixo, de subespaço para determinar quais dos seguintes são subespaços de \mathrm{R}^{3}.
Todos os vetores da forma (a, b, c) com b=a+c.
DA ADIÇÃO:
A1) u+v=v+u
A2) (u+v)+w=u+(v+w)
A3) Existe { }^{0 \in V} tal que u+0=u (elemento neutro)
A4) Existe -u \in V tal que u+(-u)=0. (elemento oposto)
DA MULTIPLICAÇÃO:
M1) (ab).u = a(bu) (comutativa)
M2) (a+b) \cdot u=a \cdot u+b \cdot u (distributiva - vetor)
M3) a \cdot(u+v)=a \cdot u+a \cdot v (distributiva - escalar)
M4) 1 . u=u (elemento neutro)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o conjunto
S=\{(a,b,c)\in\mathbb{R}^3 \mid b=a+c\}
é um subespaço de \mathbb{R}^3. Informações dadas relevantes: todo vetor em S tem a segunda componente igual à soma da primeira com a terceira; foram citadas as propriedades de espaço vetorial A1) u+v=v+u (comutatividade da adição) e M1) (ab)\cdot u = a\cdot(bu) (associatividade da multiplicação escalar). A resolução começará a partir daqui.

Passo 2

Lembrando (aqui é uma mini-aula): para mostrar que um subconjunto S de \mathbb{R}^3 é subespaço convém verificar três coisas simples e suficientes:
  1. S não é vazio (normalmente mostramos que o vetor zero está em S);
  2. S é fechado sob adição: se u\in S e v\in S então u+v\in S;
  3. S é fechado sob multiplicação escalar: se u\in S e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda u\in S.
    Vou aplicar essas três verificações passo a passo. Essas condições garantem que S herda as propriedades A1…A4 e M1…M4 de \mathbb{R}^3, então basta checar essas três.

Passo 3

Verificar que o vetor zero está em S. O vetor zero em \mathbb{R}^3 é (0,0,0). Substituindo na condição de S:
b=a+c \quad\Longrightarrow\quad 0 = 0 + 0.
A igualdade é verdadeira, logo (0,0,0)\in S. Portanto S não é vazio. (Isso é importante porque subespaço deve conter o zero.)

Passo 4

Verificar fechamento por adição (passo com bastante detalhe). Seja
u=(a_1,b_1,c_1)\in S\quad\text{e}\quad v=(a_2,b_2,c_2)\in S.
Pelo fato de estarem em S temos
b_1=a_1+c_1\quad\text{e}\quad b_2=a_2+c_2.
A soma em \mathbb{R}^3 é feita componente a componente, então
u+v=(a_1+a_2,\;b_1+b_2,\;c_1+c_2).
Agora precisamos checar se a segunda componente de u+v é igual à soma da primeira com a terceira, ou seja, verificar se
b_1+b_2 \stackrel{?}{=} (a_1+a_2) + (c_1+c_2).
Substituindo b_1 e b_2 pelas expressões que sabemos:
b_1+b_2 = (a_1+c_1) + (a_2+c_2).
Usando a comutatividade e associatividade da soma de reais (aqui podemos citar A1 no sentido análogo para vetores: a adição é comutativa), podemos reorganizar os termos:
(a_1+c_1) + (a_2+c_2) = (a_1+a_2) + (c_1+c_2).
Portanto
b_1+b_2 = (a_1+a_2) + (c_1+c_2),
que mostra exatamente que a segunda componente de u+v é a soma da primeira com a terceira. Assim u+v\in S. Conclusão: S é fechado por adição.

Passo 5

Verificar fechamento por multiplicação escalar (detalhado). Seja u=(a,b,c)\in S com b=a+c e seja \lambda\in\mathbb{R}. A multiplicação escalar em \mathbb{R}^3 é componente a componente, então
\lambda u = (\lambda a,\;\lambda b,\;\lambda c).
Queremos ver se \lambda u satisfaz a condição de S, isto é, se a segunda componente \lambda b é igual à soma da primeira com a terceira: \lambda a + \lambda c. Como b=a+c, temos
\lambda b = \lambda (a+c).
Pela distributividade da multiplicação real sobre a soma (regra dos reais), ou pensando na propriedade M3 citada entre as axiomas (distributiva do escalar sobre soma de vetores) adaptada para componentes escalares, obtemos
\lambda (a+c) = \lambda a + \lambda c.
Logo
\lambda b = \lambda a + \lambda c,
e portanto a segunda componente de \lambda u é a soma da primeira com a terceira, o que implica \lambda u\in S. Se quiser relacionar com M1 (a que foi citada), M1 garante a coerência da multiplicação por escalares compostos, isto é, que escalar duas vezes funciona bem; aqui precisamos principalmente da distributividade, mas M1 é uma das propriedades que mantém a estrutura de espaço vetorial consistente.

Passo 6

Tendo mostrado que S contém o vetor zero (Passo 3), é fechado por adição (Passo 4) e é fechado por multiplicação escalar (Passo 5), concluímos que S é um subespaço de \mathbb{R}^3. Observação intuitiva extra (para fixar): a condição b=a+c é uma equação linear homogênea nas componentes — é a mesma coisa que o plano \{(a,b,c)\mid -a + b - c = 0\} que passa pela origem, e todo conjunto de soluções de uma equação linear homogênea é subespaço.

Resposta

S=\{(a,b,c)\in\mathbb{R}^3 \mid b=a+c\} é um subespaço de \mathbb{R}^3.

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