Use propriedades de congruência para encontrar o resto da divisão de 4^{100} por 3,5 e 7 .

Passo 1

O enunciado pede os restos de 4^{100} quando dividido por 3, por 5 e por 7. O conteúdo aqui é aritmética modular, usando propriedades de congruência, como
  • se a\equiv b\pmod m então a^k\equiv b^k\pmod m;
  • para primo p e \gcd(a,p)=1, vale o pequeno teorema de Fermat: a^{p-1}\equiv1\pmod p.

Passo 2

Para módulo 3 temos
4\equiv1\pmod3,
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4^{100}\equiv1^{100}\equiv1\pmod3.

Passo 3

Para módulo 5 notamos que
4^2=16\equiv1\pmod5,
então o período de 4^k é 2. Como 100 é par,
4^{100}=(4^2)^{50}\equiv1^{50}\equiv1\pmod5.

Passo 4

Para módulo 7, pelo pequeno teorema de Fermat,
4^6\equiv1\pmod7
para \gcd(4,7)=1. Como 100=6\cdot16+4, segue
4^{100}=(4^6)^{16}\cdot4^4\equiv1^{16}\cdot4^4\equiv4^4\pmod7.
E como
4^2=16\equiv2\pmod7,
temos
4^4=(4^2)^2\equiv2^2\equiv4\pmod7.

Resposta

Resto de 4^{100} por 3 é 1.
Resto de 4^{100} por 5 é 1.
Resto de 4^{100} por 7 é 4.

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