Use o Pequeno Teorema de Fermat e propriedades de congruência para encontar os restos das divisões indicadas abaixo:
(a) 5^{14} por 7 .

Passo 1

O enunciado pede o resto da divisão de 5^{14} por 7. O conteúdo aplicado é o Pequeno Teorema de Fermat, que diz que, para primo p e inteiro a não múltiplo de p, vale
a^{p-1}\equiv1\pmod p.
Também usaremos propriedades de potências em congruências para simplificar o expoente.

Passo 2

Como 7 é primo e não divide 5, pelo Pequeno Teorema de Fermat temos
5^{7-1}=5^6\equiv1\pmod7.

Passo 3

Escrevemos o expoente 14 em função de 6:
14 = 6\cdot2 + 2.
Logo
5^{14} = 5^{6\cdot2+2} = \bigl(5^6\bigr)^2 \cdot 5^2.

Passo 4

Aplicando a congruência de 5^6 e reduzindo módulo 7, obtemos
5^{14} \equiv 1^2\cdot 5^2 = 25 \pmod7.
Finalmente, 25 dividido por 7 deixa resto 4.

Resposta

O resto da divisão de 5^{14} por 7 é 4.

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