Use o Pequeno Teorema de Fermat e propriedades de congruência para encontar os restos das divisões indicadas abaixo:
(b) 5^{100} por 11

Passo 1

O enunciado pede o resto da divisão de 5^{100} por 11. O conteúdo envolvido é o Pequeno Teorema de Fermat, que nos ajuda a reduzir expoentes em congruências módulo um número primo.

Passo 2

O Pequeno Teorema de Fermat diz que, se p é primo e \gcd(a,p)=1, então
a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}.
Aqui temos p=11 e a=5. Como \gcd(5,11)=1, vale
5^{10} \equiv 1 \pmod{11}.

Passo 3

Para aproveitar essa congruência, note que
100 = 10 \times 10.
Logo podemos escrever
5^{100} = \bigl(5^{10}\bigr)^{10}.

Passo 4

Aplicando a congruência obtida no passo anterior, temos
5^{100} = \bigl(5^{10}\bigr)^{10} \equiv 1^{10} \pmod{11}.
Como 1^{10}=1, concluímos que
5^{100} \equiv 1 \pmod{11}.

Resposta

O resto da divisão de 5^{100} por 11 é 1.

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