Use as propriedades do exercício anterior para mostrar que: sumk=1^n k^3=n^44+n^32+n^24

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar as propriedades do exercício anterior (que a gente não tem aqui, mas vamos supor que envolve somas de potências) para mostrar que a soma dos cubos dos números de 1 até é igual a . Isso está relacionado com somatórios e propriedades de séries matemáticas. Vamos precisar usar fórmulas de somas de potências e manipulações algébricas para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a soma dos cubos pode ser expressa como:
sumk=1^n k^3
E queremos provar que isso é igual a:
n^44 + n^32 + n^24

Passo 3

Vamos começar expandindo a expressão da soma dos cubos. Sabemos que k^3 = n^44 + n^32 + n^24 pode ser reescrito de uma forma que facilite a soma. Vamos tentar expressar sumk=1^n k^3 = ( n(n+1)2 )^2 em termos de , e :
Mas, na verdade, para somar os cubos, precisamos usar as propriedades de somatórios. Uma fórmula conhecida para a soma dos cubos é:

Passo 4

Vamos expandir essa fórmula para ver se chegamos na expressão que o exercício pede. Primeiro, calculamos n(n+1)2 = n^2 + n2 :
( n^2 + n2 )^2 = (n^2 + n)^24 = n^4 + 2n^3 + n^24
Agora, elevamos ao quadrado:

Passo 5

Agora, vamos separar os termos da fração:
n^4 + 2n^3 + n^24 = n^44 + 2n^34 + n^24 = n^44 + n^32 + n^24

Resposta

Portanto, mostramos que:
sumk=1^n k^3 = n^44 + n^32 + n^24

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