Use as propriedades operatórias dos limites para calcular os limites abaixo, se existirem. \lim _{t \rightarrow 1} \frac{t^{4}-1}{t^{3}-1}
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
\lim_{t\to 1} \frac{t^{4}-1}{t^{3}-1}.
Informações dadas:
A expressão a avaliar é \dfrac{t^{4}-1}{t^{3}-1}.
O ponto de interesse é t\to 1.
Objetivo: encontrar o valor do limite (se existir).
Passo 2
Tentar substituição direta para ver se é um caso simples. Calcular numerador e denominador em t=1:
1^{4}-1=0,\qquad 1^{3}-1=0.
Logo a forma obtida por substituição é 0/0, que é uma indeterminação. Quando isso acontece precisamos manipular a expressão (por exemplo fatorando) para eliminar a indeterminação antes de avaliar o limite.
Passo 3
Usar fatoração de diferenças de potências. Lembretes úteis:
Para quaisquer a e b e inteiro n\ge1, vale a identidade geral \;a^{n}-b^{n}=(a-b)\,(a^{n-1}+a^{n-2}b+\dots+b^{n-1})\;.
Aplicando ao nosso caso:
Fatorar o numerador \,t^{4}-1:
t^{4}-1=(t^{2}-1)(t^{2}+1).
E fatorar t^{2}-1 como diferença de quadrados:
t^{2}-1=(t-1)(t+1).
Portanto
t^{4}-1=(t-1)(t+1)(t^{2}+1).
Fatorar o denominador \,t^{3}-1 usando a fórmula da diferença de cubos:
t^{3}-1=(t-1)(t^{2}+t+1).
Passo 4
Substituir as fatorações na fração original e simplificar cancelando o fator comum (t-1):
Como estamos calculando um limite quando t\to 1, podemos cancelar (t-1) (isso é válido porque o limite considera valores próximos de 1, não necessariamente igual a 1). Após cancelar obtemos a função simplificada
Agora que a indeterminação foi removida, usamos a propriedade de limites que diz que polinômios (e quocientes de polinômios com denominador não nulo no ponto) são contínuos. Logo podemos avaliar o limite substituindo t=1 na expressão simplificada:
Calcular numerador em t=1:
(Pequeno comentário extra de verificação) Como checagem alternativa, poderia-se aplicar a regra de L’Hôpital porque havia 0/0: derivando numerador e denominador obtemos \dfrac{4t^{3}}{3t^{2}} e avaliando em t=1 dá \dfrac{4}{3}, coincidente com o resultado obtido por fatoração.