Use as propriedades operatórias dos limites para calcular os limites abaixo, se existirem.
\lim _{t \rightarrow 1} \frac{t^{4}-1}{t^{3}-1}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{t\to 1} \frac{t^{4}-1}{t^{3}-1}.
Informações dadas:
  • A expressão a avaliar é \dfrac{t^{4}-1}{t^{3}-1}.
  • O ponto de interesse é t\to 1.
    Objetivo: encontrar o valor do limite (se existir).

Passo 2

Tentar substituição direta para ver se é um caso simples. Calcular numerador e denominador em t=1:
1^{4}-1=0,\qquad 1^{3}-1=0.
Logo a forma obtida por substituição é 0/0, que é uma indeterminação. Quando isso acontece precisamos manipular a expressão (por exemplo fatorando) para eliminar a indeterminação antes de avaliar o limite.

Passo 3

Usar fatoração de diferenças de potências. Lembretes úteis:
  • Para quaisquer a e b e inteiro n\ge1, vale a identidade geral \;a^{n}-b^{n}=(a-b)\,(a^{n-1}+a^{n-2}b+\dots+b^{n-1})\;.
    Aplicando ao nosso caso:
    Fatorar o numerador \,t^{4}-1:
t^{4}-1=(t^{2}-1)(t^{2}+1).
E fatorar t^{2}-1 como diferença de quadrados:
t^{2}-1=(t-1)(t+1).
Portanto
t^{4}-1=(t-1)(t+1)(t^{2}+1).
Fatorar o denominador \,t^{3}-1 usando a fórmula da diferença de cubos:
t^{3}-1=(t-1)(t^{2}+t+1).

Passo 4

Substituir as fatorações na fração original e simplificar cancelando o fator comum (t-1):
\frac{t^{4}-1}{t^{3}-1}=\frac{(t-1)(t+1)(t^{2}+1)}{(t-1)(t^{2}+t+1)}.
Como estamos calculando um limite quando t\to 1, podemos cancelar (t-1) (isso é válido porque o limite considera valores próximos de 1, não necessariamente igual a 1). Após cancelar obtemos a função simplificada
\frac{t^{4}-1}{t^{3}-1}=\frac{(t+1)(t^{2}+1)}{t^{2}+t+1}\quad\text{para }t\neq1.

Passo 5

Agora que a indeterminação foi removida, usamos a propriedade de limites que diz que polinômios (e quocientes de polinômios com denominador não nulo no ponto) são contínuos. Logo podemos avaliar o limite substituindo t=1 na expressão simplificada:
Calcular numerador em t=1:
(t+1)(t^{2}+1)\big|_{t=1}=(1+1)\bigl(1^{2}+1\bigr)=2\cdot 2=4.
Calcular denominador em t=1:
t^{2}+t+1\big|_{t=1}=1+1+1=3.
Portanto o valor do limite é
\frac{4}{3}.

Passo 6

(Pequeno comentário extra de verificação) Como checagem alternativa, poderia-se aplicar a regra de L’Hôpital porque havia 0/0: derivando numerador e denominador obtemos \dfrac{4t^{3}}{3t^{2}} e avaliando em t=1 \dfrac{4}{3}, coincidente com o resultado obtido por fatoração.

Resposta

\dfrac{4}{3}

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