Use as propriedades operatórias dos limites para calcular os limites abaixo, se existirem.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o seguinte limite:
Informações dadas:
- A expressão dentro do limite é
. - A variável
tende para . - É preciso dizer se o limite existe e, se existir, calcular o valor.
Passo 2
Primeiro passo prático: tentar substituir
diretamente para ver o que acontece com a expressão interior
.
Substituindo,
Substituindo,
que é uma forma indeterminada
. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite só pela substituição — precisamos manipular a expressão algebricamente para remover a indeterminação.
Passo 3
Vamos usar uma manipulação algébrica simples: fatorar o denominador. Lembrando que para todo
,
Portanto, para
temos
Como estamos calculando um limite quando
se aproxima de
(mas não está necessariamente igual a
), podemos cancelar o fator comum
em numerador e denominador, obtendo a expressão simplificada válida para
:
Passo 4
Agora calculamos o limite da expressão simplificada. Note que
é uma função racional contínua no ponto
porque o denominador
é diferente de zero em
. Para funções contínuas, podemos calcular o limite por substituição direta:
Passo 5
Voltando à expressão original com o expoente
: usamos a propriedade operatória dos limites que diz que, se
existe e é finito, então
Aqui
e já mostramos que
. Portanto
Passo 6
Calculemos o cubo de
:
Observação final: embora a função original esteja indefinida em
(por causa do
), ao simplificar obtemos uma função que tem limite em
. Isso é um caso típico de descontinuidade removível — o limite existe mesmo que o valor da função em
não esteja definido.