Use as propriedades operatórias dos limites para calcular os limites abaixo, se existirem.
\lim _{x \rightarrow 3}\left(\frac{x-3}{x^{2}-9}\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite:
\lim_{x\to 3}\left(\frac{x-3}{x^{2}-9}\right)^{3}.
Informações dadas:
  • A expressão dentro do limite é \left(\dfrac{x-3}{x^{2}-9}\right)^{3}.
  • A variável x tende para 3.
  • É preciso dizer se o limite existe e, se existir, calcular o valor.

Passo 2

Primeiro passo prático: tentar substituir x=3 diretamente para ver o que acontece com a expressão interior \dfrac{x-3}{x^{2}-9}.
Substituindo,
\frac{3-3}{3^{2}-9}=\frac{0}{9-9}=\frac{0}{0},
que é uma forma indeterminada 0/0. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite só pela substituição — precisamos manipular a expressão algebricamente para remover a indeterminação.

Passo 3

Vamos usar uma manipulação algébrica simples: fatorar o denominador. Lembrando que para todo x,
x^{2}-9=(x-3)(x+3).
Portanto, para x\neq 3 temos
\frac{x-3}{x^{2}-9}=\frac{x-3}{(x-3)(x+3)}.
Como estamos calculando um limite quando x se aproxima de 3 (mas não está necessariamente igual a 3), podemos cancelar o fator comum x-3 em numerador e denominador, obtendo a expressão simplificada válida para x\neq 3:
\frac{x-3}{x^{2}-9}=\frac{1}{x+3}\quad\text{(para \(x\neq 3\)).}

Passo 4

Agora calculamos o limite da expressão simplificada. Note que \dfrac{1}{x+3} é uma função racional contínua no ponto x=3 porque o denominador x+3 é diferente de zero em x=3. Para funções contínuas, podemos calcular o limite por substituição direta:
\lim_{x\to 3}\frac{1}{x+3}=\frac{1}{3+3}=\frac{1}{6}.

Passo 5

Voltando à expressão original com o expoente 3: usamos a propriedade operatória dos limites que diz que, se \lim_{x\to a} g(x)=L existe e é finito, então
\lim_{x\to a} [g(x)]^{3} = [\lim_{x\to a} g(x)]^{3}=L^{3}.
Aqui g(x)=\dfrac{x-3}{x^{2}-9} e já mostramos que \lim_{x\to 3} g(x)=\dfrac{1}{6}. Portanto
\lim_{x\to 3}\left(\frac{x-3}{x^{2}-9}\right)^{3}=\left(\frac{1}{6}\right)^{3}.

Passo 6

Calculemos o cubo de \dfrac{1}{6}:
\left(\frac{1}{6}\right)^{3}=\frac{1}{6^{3}}=\frac{1}{216}.
Observação final: embora a função original esteja indefinida em x=3 (por causa do 0/0), ao simplificar obtemos uma função que tem limite em 3. Isso é um caso típico de descontinuidade removível — o limite existe mesmo que o valor da função em x=3 não esteja definido.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{216}

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