Questões de análise (justifique sua resposta):
Determine o valor de k para que \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-k x+2}{x-2} exista.

Passo 1

O enunciado pede: “Determine o valor de k para que \displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x^{2}-k x+2}{x-2} exista.”
Informações dadas:
  • A função cujo limite devemos estudar é \displaystyle \frac{x^{2}-k x+2}{x-2}.
  • O ponto de interesse é x=2.
  • Observe que o denominador x-2 tende a 0 quando x\to2.
O que está sendo pedido: encontrar o(s) valor(es) de k que tornam o limite em x=2 um número finito (ou seja, que o limite exista como número real).

Passo 2

Entendendo o que faz o limite existir (explicação didática):
  • Quando o denominador de uma fração tende a 0 ao se aproximar do ponto, a razão pode divergir para \pm\infty ou não existir, a menos que o numerador também tenda a 0 de forma que o zero se cancele.
  • Em termos simples: para que haja um limite finito do tipo "número sobre x-2" quando x\to2, é preciso que o numerador também seja 0 em x=2. Então ambos numerador e denominador têm um fator comum (x-2), o qual pode ser simplificado, deixando uma função contínua no ponto e, portanto, um limite finito.
  • Formalizando: se \displaystyle \lim_{x\to2}\frac{N(x)}{x-2} existir finito e x-2\to0, então necessariamente N(2)=0. Aqui N(x)=x^{2}-kx+2.

Passo 3

Impor a condição N(2)=0 e resolver para k:
  • Calcular N(2):
N(2)=2^{2}-k\cdot 2+2.
  • Desenvolvendo:
N(2)=4-2k+2=6-2k.
  • Para que o numerador seja zero em x=2 devemos ter
6-2k=0.
  • Resolver para k:
2k=6\quad\Rightarrow\quad k=3.

Passo 4

Verificação e cálculo do limite quando k=3:
  • Substituindo k=3 no numerador obtemos
x^{2}-3x+2.
  • Essa expressão fatoriza (produto notável) como
x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2).
  • Assim a expressão original para k=3 é
\frac{x^{2}-3x+2}{x-2}=\frac{(x-1)(x-2)}{x-2}.
  • Cancelando o fator comum (x-2) para x\neq2 obtemos a função simplificada
x-1.
  • Como x-1 é contínua, o limite quando x\to2 é simplesmente o valor em 2:
\lim_{x\to2}\frac{x^{2}-3x+2}{x-2}=\lim_{x\to2}(x-1)=2-1=1.
  • Conclusão: com k=3 o limite existe e vale 1.

Passo 5

Observações finais e unicidade:
  • Se k\neq3, então N(2)=6-2k\neq0, o numerador tende a uma constante não nula enquanto o denominador tende a 0, portanto o quociente diverge e o limite não existe finito.
  • Logo o único valor de k que faz o limite existir (como número real) é k=3.
  • (Comentário adicional curto: outra forma de ver seria aplicar a Regra de L’Hôpital quando a forma é 0/0; ainda assim é necessário que N(2)=0 para que a aplicação faça sentido — o resultado é o mesmo.)

Resposta

k=3

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