Questões de análise (justifique sua resposta):
Determine o valor de
para que
exista.
Determine o valor de
Passo 1
O enunciado pede: “Determine o valor de
para que
exista.”
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função cujo limite devemos estudar é
. - O ponto de interesse é
. - Observe que o denominador
tende a quando .
O que está sendo pedido: encontrar o(s) valor(es) de
que tornam o limite em
um número finito (ou seja, que o limite exista como número real).
Passo 2
Entendendo o que faz o limite existir (explicação didática):
- Quando o denominador de uma fração tende a
ao se aproximar do ponto, a razão pode divergir para ou não existir, a menos que o numerador também tenda a de forma que o zero se cancele. - Em termos simples: para que haja um limite finito do tipo "número sobre
" quando , é preciso que o numerador também seja em . Então ambos numerador e denominador têm um fator comum , o qual pode ser simplificado, deixando uma função contínua no ponto e, portanto, um limite finito. - Formalizando: se
existir finito e , então necessariamente . Aqui .
Passo 3
Impor a condição
e resolver para
:
- Calcular
:
- Desenvolvendo:
- Para que o numerador seja zero em
devemos ter
- Resolver para
:
Passo 4
Verificação e cálculo do limite quando
:
- Substituindo
no numerador obtemos
- Essa expressão fatoriza (produto notável) como
- Assim a expressão original para
é
- Cancelando o fator comum
para obtemos a função simplificada
- Como
é contínua, o limite quando é simplesmente o valor em :
- Conclusão: com
o limite existe e vale .
Passo 5
Observações finais e unicidade:
- Se
, então , o numerador tende a uma constante não nula enquanto o denominador tende a , portanto o quociente diverge e o limite não existe finito. - Logo o único valor de
que faz o limite existir (como número real) é . - (Comentário adicional curto: outra forma de ver seria aplicar a Regra de L’Hôpital quando a forma é
; ainda assim é necessário que para que a aplicação faça sentido — o resultado é o mesmo.)