Use as propriedades de raízes para decompor as expressões abaixo:
\sqrt{\frac{15-\operatorname{sen}^{2} \theta}{15}}

Passo 1

O enunciado pede para decompor a expressão
\sqrt{\frac{15-\operatorname{sen}^{2}\theta}{15}}
Usam-se propriedades de raízes (radiciação) para reescrever essa expressão de formas equivalentes. Informação útil dada pelo enunciado: \operatorname{sen}^{2}\theta assume valores em [0,1], logo 15-\operatorname{sen}^{2}\theta\ge 14>0. O denominador 15 é positivo. Portanto a raiz está bem definida para todo \theta.

Passo 2

Propriedade fundamental que vamos usar: para a\ge 0 e b>0 vale
\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.
Isto é, a raiz de uma razão é a razão das raízes, desde que o numerador seja não negativo e o denominador positivo (caso contrário a operação não é permitida no conjunto dos números reais). Aqui podemos aplicar porque 15-\operatorname{sen}^{2}\theta\ge 14\ge0 e 15>0. Aplicando:
\sqrt{\frac{15-\operatorname{sen}^{2}\theta}{15}}=\frac{\sqrt{15-\operatorname{sen}^{2}\theta}}{\sqrt{15}}.

Passo 3

Outra forma de “decompor” é colocar a fração dentro da raiz como uma diferença em relação a 1. Observe a identidade algébrica
\frac{15-\operatorname{sen}^{2}\theta}{15}=1-\frac{\operatorname{sen}^{2}\theta}{15}.
Logo, também podemos escrever
\sqrt{\frac{15-\operatorname{sen}^{2}\theta}{15}}=\sqrt{\,1-\frac{\operatorname{sen}^{2}\theta}{15}\,}.

Passo 4

Comentar uma armadilha comum: não é verdade que \sqrt{a-b}=\sqrt{a}-\sqrt{b} em geral. Por isso a forma \sqrt{1-\frac{\operatorname{sen}^{2}\theta}{15}} não pode ser simplificada como 1-\sqrt{\frac{\operatorname{sen}^{2}\theta}{15}}. As duas formas válidas e equivalentes são as obtidas nos passos anteriores.

Passo 5

Verificação rápida com um exemplo numérico para ganhar confiança: se \theta=0 então \operatorname{sen}^{2}0=0 e a expressão original dá
\sqrt{\frac{15-0}{15}}=\sqrt{1}=1.
Na forma \dfrac{\sqrt{15-\operatorname{sen}^{2}\theta}}{\sqrt{15}} obtemos \dfrac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}=1. Concorda.

Resposta

\displaystyle \sqrt{\frac{15-\operatorname{sen}^{2}\theta}{15}}=\frac{\sqrt{15-\operatorname{sen}^{2}\theta}}{\sqrt{15}}
\displaystyle \sqrt{\frac{15-\operatorname{sen}^{2}\theta}{15}}=\sqrt{\,1-\frac{\operatorname{sen}^{2}\theta}{15}\,}

Exercícios relacionados