Use as propriedades de raízes para decompor as expressões abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para decompor a expressão
Usam-se propriedades de raízes (radiciação) para reescrever essa expressão de formas equivalentes. Informação útil dada pelo enunciado:
assume valores em
, logo
. O denominador
é positivo. Portanto a raiz está bem definida para todo
.
Passo 2
Propriedade fundamental que vamos usar: para
e
vale
Isto é, a raiz de uma razão é a razão das raízes, desde que o numerador seja não negativo e o denominador positivo (caso contrário a operação não é permitida no conjunto dos números reais). Aqui podemos aplicar porque
e
. Aplicando:
Passo 3
Outra forma de “decompor” é colocar a fração dentro da raiz como uma diferença em relação a
. Observe a identidade algébrica
Logo, também podemos escrever
Passo 4
Comentar uma armadilha comum: não é verdade que
em geral. Por isso a forma
não pode ser simplificada como
. As duas formas válidas e equivalentes são as obtidas nos passos anteriores.
Passo 5
Verificação rápida com um exemplo numérico para ganhar confiança: se
então
e a expressão original dá
Na forma
obtemos
. Concorda.