Use as propriedades de raízes para decompor as expressões abaixo:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:\n
- Dado:
.\n - Pedido: decompor essa expressão usando propriedades de raízes (ou seja, escrever como produto de fatores mais simples, quando possível).\n
Passo 2
Propriedade básica que vamos usar (e por que ela vale):\n
- Propriedade: para inteiros positivos
e números e tais que as raízes estão definidas, vale
- Justificativa curta e intuitiva: se definirmos
e , então e . Multiplicando, . Portanto é uma raíz n-ésima de , logo (tomando a raíz principal). Aqui . Observação prática: como é ímpar, a raíz nona existe para qualquer real , mas para raízes pares normalmente exigimos ; isso é só comentário de domínio.
Passo 3
Aplicando a propriedade ao produto dentro da raíz:\n
Expliquei o porquê no passo anterior: se
e
então
, logo
é a raíz nona de
.
Passo 4
Fatorando
em primos e separando mais:\n
-
. Usando a propriedade novamente,
- Portanto, juntando com o fator
,
Passo 5
Forma alternativa usando expoentes fracionários e regra para potências (útil na prova):\n
- Definição equivalente:
. Assim
- Regra de extração de potências:
. Em particular, se tiver um fator que seja uma potência nona, dá para “tirar para fora” da raíz. Exemplo prático: se então
Exemplo numérico rápido:
.
Passo 6
Resumo final (forma completamente decomposta):\n