Use as propriedades de raízes para decompor as expressões abaixo:
\sqrt[9]{15 y}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:\n
  • Dado: \sqrt[9]{15 y}.\n
  • Pedido: decompor essa expressão usando propriedades de raízes (ou seja, escrever como produto de fatores mais simples, quando possível).\n

Passo 2

Propriedade básica que vamos usar (e por que ela vale):\n
  • Propriedade: para inteiros positivos n e números a e b tais que as raízes estão definidas, vale
\sqrt[n]{a b}=\sqrt[n]{a}\,\sqrt[n]{b}.
  • Justificativa curta e intuitiva: se definirmos x=\sqrt[n]{a} e y=\sqrt[n]{b}, então x^n=a e y^n=b. Multiplicando, (xy)^n=a b. Portanto xy é uma raíz n-ésima de ab, logo xy=\sqrt[n]{ab} (tomando a raíz principal). Aqui n=9. Observação prática: como 9 é ímpar, a raíz nona existe para qualquer real ab, mas para raízes pares normalmente exigimos a,b\ge0; isso é só comentário de domínio.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao produto dentro da raíz:\n
\sqrt[9]{15 y}=\sqrt[9]{15}\,\sqrt[9]{y}.
Expliquei o porquê no passo anterior: se \alpha=\sqrt[9]{15} e \beta=\sqrt[9]{y} então (\alpha\beta)^9=15y, logo \alpha\beta é a raíz nona de 15y.

Passo 4

Fatorando 15 em primos e separando mais:\n
  • 15=3\cdot5. Usando a propriedade novamente,
\sqrt[9]{15}=\sqrt[9]{3\cdot5}=\sqrt[9]{3}\,\sqrt[9]{5}.
  • Portanto, juntando com o fator \sqrt[9]{y},
\sqrt[9]{15y}=\sqrt[9]{3}\,\sqrt[9]{5}\,\sqrt[9]{y}.

Passo 5

Forma alternativa usando expoentes fracionários e regra para potências (útil na prova):\n
  • Definição equivalente: \sqrt[n]{t}=t^{1/n}. Assim
\sqrt[9]{15y}=(15y)^{1/9}=3^{1/9}\,5^{1/9}\,y^{1/9}.
  • Regra de extração de potências: \sqrt[n]{t^m}=t^{m/n}. Em particular, se y tiver um fator que seja uma potência nona, dá para “tirar para fora” da raíz. Exemplo prático: se y=a^9 b então
\sqrt[9]{y}=\sqrt[9]{a^9 b}=a\,\sqrt[9]{b}.
Exemplo numérico rápido: \sqrt[9]{512}=\sqrt[9]{2^9}=2.

Passo 6

Resumo final (forma completamente decomposta):\n
\sqrt[9]{15y}=\sqrt[9]{3}\,\sqrt[9]{5}\,\sqrt[9]{y}=3^{1/9}\,5^{1/9}\,y^{1/9}.

Resposta

\sqrt[9]{15y}=\sqrt[9]{3}\,\sqrt[9]{5}\,\sqrt[9]{y}

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