Use as propriedades de raízes para reescrever as expressões abaixo em uma única raiz:
Passo 1
O enunciado pede explicitamente que a expressão
seja reescrita como uma única raiz usando propriedades de raízes.
Informações dadas: a expressão original é .
O objetivo final é obter algo do tipo equivalente, e deixar claro quando essa equivalência vale.
Informações dadas: a expressão original é
O objetivo final é obter algo do tipo
Passo 2
Propriedade-chave das raízes quadradas que vamos usar (explicada devagar): para quaisquer números reais
e
a propriedade
é válida somente quando ambos
e
são não negativos (isto é,
e
).
Por quê? Porque a raiz quadrada principal retorna sempre um número não negativo, e a regra de multiplicar dentro da raiz só preserva isso quando as duas raízes individuais existem como reais. Se
ou
for negativo,
ou
não é um número real, então a igualdade acima não se aplica no conjunto dos reais.
Por quê? Porque a raiz quadrada principal
Passo 3
Aplicando a propriedade ao nosso caso, com
e
, obtemos formalmente
Passo 4
Agora simplificamos o produto dentro da raiz:
portanto
Passo 5
Análise do domínio (muito importante para usar essa igualdade na prova): para que as raízes individuais
e
existam como números reais é necessário ter
Essas duas condições juntas equivalem a
. Logo a igualdade obtida no Passo 4 vale (como igualdade entre números reais) somente para
.
Observação adicional curta: a expressão
está definida como real para
, mas para
as raízes individuais
e
não existem em
. Por isso não se pode estender a igualdade para
no contexto dos números reais.