Use as propriedades de raízes para reescrever as expressões abaixo em uma única raiz:
\sqrt{x+1} \sqrt{x-1}

Passo 1

O enunciado pede explicitamente que a expressão \sqrt{x+1}\sqrt{x-1} seja reescrita como uma única raiz usando propriedades de raízes.
Informações dadas: a expressão original é \sqrt{x+1}\sqrt{x-1}.
O objetivo final é obter algo do tipo \sqrt{\text{algo}} equivalente, e deixar claro quando essa equivalência vale.

Passo 2

Propriedade-chave das raízes quadradas que vamos usar (explicada devagar): para quaisquer números reais a e b a propriedade
\sqrt{a}\,\sqrt{b}=\sqrt{ab}
é válida somente quando ambos a e b são não negativos (isto é, a\ge 0 e b\ge 0).
Por quê? Porque a raiz quadrada principal \sqrt{\cdot} retorna sempre um número não negativo, e a regra de multiplicar dentro da raiz só preserva isso quando as duas raízes individuais existem como reais. Se a ou b for negativo, \sqrt{a} ou \sqrt{b} não é um número real, então a igualdade acima não se aplica no conjunto dos reais.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao nosso caso, com a=x+1 e b=x-1, obtemos formalmente
\sqrt{x+1}\sqrt{x-1}=\sqrt{(x+1)(x-1)}.

Passo 4

Agora simplificamos o produto dentro da raiz:
(x+1)(x-1)=x^2-1,
portanto
\sqrt{x+1}\sqrt{x-1}=\sqrt{x^2-1}.

Passo 5

Análise do domínio (muito importante para usar essa igualdade na prova): para que as raízes individuais \sqrt{x+1} e \sqrt{x-1} existam como números reais é necessário ter
x+1\ge 0\quad\text{e}\quad x-1\ge 0.
Essas duas condições juntas equivalem a x\ge 1. Logo a igualdade obtida no Passo 4 vale (como igualdade entre números reais) somente para x\ge 1.
Observação adicional curta: a expressão \sqrt{x^2-1} está definida como real para |x|\ge 1, mas para x\le -1 as raízes individuais \sqrt{x+1} e \sqrt{x-1} não existem em \mathbb{R}. Por isso não se pode estender a igualdade para x\le -1 no contexto dos números reais.

Resposta

\sqrt{x+1}\sqrt{x-1}=\sqrt{x^2-1},\quad x\ge 1

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