Use as propriedades de raízes para reescrever as expressões abaixo em uma única raiz:
\frac{\sqrt[3]{R}}{\sqrt[3]{15}}

Passo 1

O enunciado dá a expressão \frac{\sqrt[3]{R}}{\sqrt[3]{15}} e pede para reescrevê-la como uma única raiz. Informações relevantes fornecidas:
  • Numerador: \sqrt[3]{R}.
  • Denominador: \sqrt[3]{15}.
  • Objetivo: transformar a divisão das duas raízes cúbicas numa única raiz.

Passo 2

Uma propriedade básica e muito útil é que a raiz enésima pode ser escrita como potência com expoente 1/n. Escrevendo isso:
\sqrt[n]{x} = x^{1/n},
onde x é o radicando (o número dentro da raiz) e n é o índice da raiz (número do radical). Essa representação é útil porque permite usar as regras de potências que já conhecemos.

Passo 3

Aplicando a representação em potências à expressão dada:
\sqrt[3]{R} = R^{1/3} \qquad\text{e}\qquad \sqrt[3]{15} = 15^{1/3}.
Portanto a expressão fica
\frac{\sqrt[3]{R}}{\sqrt[3]{15}} = \frac{R^{1/3}}{15^{1/3}}.

Passo 4

Usamos agora a regra das potências que diz que, para expoente comum m,
\frac{a^{m}}{b^{m}} = \left(\frac{a}{b}\right)^{m},
onde a e b são números (ou expressões) e m é um expoente. Aqui a=R, b=15 e m=1/3. Aplicando:
\frac{R^{1/3}}{15^{1/3}} = \left(\frac{R}{15}\right)^{1/3}.

Passo 5

Voltando da notação de potência para a notação de raiz, a expressão \left(\dfrac{R}{15}\right)^{1/3} é exatamente a raiz cúbica de \dfrac{R}{15}. Assim:
\left(\frac{R}{15}\right)^{1/3} = \sqrt[3]{\frac{R}{15}}.

Passo 6

Para fixar a ideia com um exemplo numérico rápido: \dfrac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}} = \sqrt[3]{\dfrac{8}{27}} = \sqrt[3]{\dfrac{2^{3}}{3^{3}}} = \dfrac{2}{3}. Isso mostra concretamente como a regra funciona e por que combinar em uma única raiz faz sentido.

Resposta

\sqrt[3]{\dfrac{R}{15}}

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