Use qualquer linha ou coluna para calcular os determinantes (Regra de Laplace).
\left|\begin{array}{ccc}-3 & 1 & 7 \\\\ 2 & 1 & -3 \\\\ 5 & 4 & 2\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante
\det A = \begin{vmatrix} -3 & 1 & 7 \\[6pt] 2 & 1 & -3 \\[2pt] 5 & 4 & 2 \end{vmatrix}
usando a Regra de Laplace (expansão por cofatores). Vamos escolher uma linha ou coluna conveniente, calcular os menores de ordem 2 e os cofatores correspondentes.]

Passo 2

Escolhendo a primeira linha de A, temos os elementos
a_{11} = -3,\quad a_{12} = 1,\quad a_{13} = 7.
O cofactor geral é
C_{ij} = (-1)^{i+j}\det M_{ij},
onde M_{ij} é o menor obtido ao eliminar a linha i e a coluna j.

Passo 3

Calculamos os menores de ordem 2:
\det M_{11} = \begin{vmatrix}1 & -3 \\[3pt] 4 & 2\end{vmatrix} = 1\cdot2 - (-3)\cdot4 = 2 + 12 = 14,
\det M_{12} = \begin{vmatrix}2 & -3 \\[3pt] 5 & 2\end{vmatrix} = 2\cdot2 - (-3)\cdot5 = 4 + 15 = 19,
\det M_{13} = \begin{vmatrix}2 & 1 \\[3pt] 5 & 4\end{vmatrix} = 2\cdot4 - 1\cdot5 = 8 - 5 = 3.
Assim, os cofatores são
C_{11} = (+1)\cdot14 = 14,\quad C_{12} = (-1)\cdot19 = -19,\quad C_{13} = (+1)\cdot3 = 3.]

Passo 4

Pela expansão de Laplace na primeira linha:
\det A = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13} = (-3)\cdot14 + 1\cdot(-19) + 7\cdot3 = -42 -19 +21 = -40.

Resposta

-40

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