Use qualquer linha ou coluna para calcular os determinantes (Regra de Laplace).
\left|\begin{array}{ccc}9 & 7 & 11 \\\\ -2 & 1 & 13 \\\\ 5 & 3 & 6\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 9 & 7 & 11\\\\ -2 & 1 & 13\\\\ 5 & 3 & 6 \end{pmatrix}
usando a Regra de Laplace (expansão por cofatores). Vamos expandir ao longo da segunda linha, pois nela aparece o elemento 1, o que torna os cálculos mais simples.

Passo 2

Pela Regra de Laplace ao longo da segunda linha,
\det(A) =\sum_{j=1}^{3}(-1)^{2+j}\,a_{2j}\,M_{2j},
onde a_{2j} é o elemento da segunda linha e M_{2j} é o determinante do menor complementar obtido ao eliminar a linha 2 e a coluna j.

Passo 3

Para j=1 temos a_{21}=-2. O menor complementar M_{21} é o determinante de
\begin{pmatrix} 7 & 11\\\\ 3 & 6 \end{pmatrix},
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M_{21}=7\cdot6-11\cdot3=42-33=9.
O cofator é
C_{21}=(-1)^{2+1}M_{21}=-1\cdot9=-9,
e o termo na soma vale
a_{21}\,C_{21} =(-2)\times(-9)=18.

Passo 4

Para j=2 temos a_{22}=1. O menor complementar M_{22} é o determinante de
\begin{pmatrix} 9 & 11\\\\ 5 & 6 \end{pmatrix},
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M_{22}=9\cdot6-11\cdot5=54-55=-1.
O cofator é
C_{22}=(-1)^{2+2}M_{22}=+1\cdot(-1)=-1,
e o termo na soma vale
a_{22}\,C_{22}=1\times(-1)=-1.

Passo 5

Para j=3 temos a_{23}=13. O menor complementar M_{23} é o determinante de
\begin{pmatrix} 9 & 7\\\\ 5 & 3 \end{pmatrix},
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M_{23}=9\cdot3-7\cdot5=27-35=-8.
O cofator é
C_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=-1\cdot(-8)=8,
e o termo na soma vale
a_{23}\,C_{23}=13\times8=104.

Passo 6

Somando os três termos obtemos
\det(A)=18+(-1)+104=121.

Resposta

121

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