Para cada um dos sistemas de equações seguintes, use a eliminação gaussiana para obter um sistema equivalente cuja matriz de coeficientes está na forma linha degrau. Indique se o sistema é consistente. Se o sistema é consistente e há variáveis livres, use substituição reversa para obter a solução única. Se o sistema é consistente e há variáveis livres, transforme-o para a forma linha degrau reduzida e obtenha todas as soluções.
Usar eliminação gaussiana para obter um sistema equivalente cuja matriz de coeficientes está na forma linha degrau (row echelon form).
Indicar se o sistema é consistente.
Se for consistente e existirem variáveis livres, usar substituição reversa (back-substitution) para obter a solução geral.
Se for consistente e houver variáveis livres, transformar para a forma linha degrau reduzida (reduced row echelon form, RREF) e obter todas as soluções.
Informações úteis iniciais:
A matriz aumentada (coeficientes + termos independentes) do sistema é
Temos mais equações (4) do que incógnitas (3), então pode haver redundância; a eliminação gaussiana vai mostrar se há incompatibilidade ou variáveis livres.]
Passo 2
Explico rapidamente a ideia da eliminação gaussiana (passo didático antes de aplicar): a eliminação gaussiana consiste em aplicar operações elementares sobre linhas da matriz aumentada (trocar duas linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra) até obter zeros abaixo dos pivôs, produzindo a forma linha degrau. Um pivô é o primeiro número não nulo numa linha não nula (da esquerda para a direita). Essas operações preservam o conjunto de soluções do sistema.
Agora começo aplicando operações na matriz aumentada já escrita no Passo 1.
Esta é uma forma linha degrau (row echelon form) da matriz aumentada: pivô na coluna 1 (linha 1) e pivô na coluna 2 (linha 2); as linhas 3 e 4 são nulas.]
Passo 5
Verificação de consistência: um sistema é inconsistente se, ao eliminar, aparece uma linha 0\\\ 0\\\ 0\\ |\\ b com b\neq0. Aqui as linhas nulas têm b=0. Portanto não apareceu tal linha; o sistema é consistente.
Também contamos pivôs: há dois pivôs (colunas 1 e 2), mas três incógnitas \,x_1,x_2,x_3. Logo há exatamente uma variável livre. A coluna sem pivô é a coluna 3, correspondente a x_3. Assim x_3 será a variável livre (podemos chamar o parâmetro t ou s).
Passo 6
Agora uso substituição reversa (back-substitution) para expressar as variáveis em função da(s) livre(s). Escrevo as equações correspondentes às duas primeiras linhas da forma linha degrau:
Da segunda linha:
0\cdot x_1 + 7 x_2 - 3 x_3 = 0,
ou seja
7 x_2 - 3 x_3 = 0.
Da primeira linha:
x_1 - 3 x_2 + x_3 = 1.
Como x_3 é livre, chamo x_3 = t, onde t\in\mathbb{R}.
Divido L_2 por 7 para tornar o pivô igual a 1:L_2 \leftarrow \frac{1}{7}L_2 \quad\Rightarrow\quad L_2 = [0\\\ 1\\\ -\tfrac{3}{7}\\ |\\\ 0].
Elimino o coeficiente acima do pivô da segunda coluna (na linha 1): L_1 \leftarrow L_1 + 3L_2.
Calculo: na terceira coluna da linha 1:1 + 3\cdot\left(-\tfrac{3}{7}\right) = 1 - \tfrac{9}{7} = -\tfrac{2}{7}.O termo independente da linha 1 fica 1 + 3\cdot 0 = 1. A primeira coluna já tem pivô 1, então não precisa ser alterada.