Para cada um dos sistemas de equações seguintes, use a eliminação gaussiana para obter um sistema equivalente cuja matriz de coeficientes está na forma linha degrau. Indique se o sistema é consistente. Se o sistema é consistente e há variáveis livres, use substituição reversa para obter a solução única. Se o sistema é consistente e há variáveis livres, transforme-o para a forma linha degrau reduzida e obtenha todas as soluções.
\begin{array}{r} x_{1}-3 x_{2}+x_{3}=1 \\\\ 2 x_{1}+x_{2}-x_{3}=2 \\\ x_{1}+4 x_{2}-2 x_{3}=1 \\\\ 5 x_{1}-8 x_{2}+2 x_{3}=5 \end{array}

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com quatro equações e três incógnitas. Vou listar claramente o que é pedido e os dados fornecidos:
  • Sistema dado:
\begin{array}{r} x_{1}-3 x_{2}+x_{3}=1 \\\\ 2 x_{1}+x_{2}-x_{3}=2 \\\ x_{1}+4 x_{2}-2 x_{3}=1 \\\\ 5 x_{1}-8 x_{2}+2 x_{3}=5 \end{array}
  • O que o problema pede:
    1. Usar eliminação gaussiana para obter um sistema equivalente cuja matriz de coeficientes está na forma linha degrau (row echelon form).
    2. Indicar se o sistema é consistente.
    3. Se for consistente e existirem variáveis livres, usar substituição reversa (back-substitution) para obter a solução geral.
    4. Se for consistente e houver variáveis livres, transformar para a forma linha degrau reduzida (reduced row echelon form, RREF) e obter todas as soluções.
  • Informações úteis iniciais:
    • A matriz aumentada (coeficientes + termos independentes) do sistema é
    \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & 1 & 1\\[4pt] 2 & 1 & -1 & 2\\[4pt] 1 & 4 & -2 & 1\\[4pt] 5 & -8 & 2 & 5 \end{array}\right].
    • Temos mais equações (4) do que incógnitas (3), então pode haver redundância; a eliminação gaussiana vai mostrar se há incompatibilidade ou variáveis livres.]

Passo 2

Explico rapidamente a ideia da eliminação gaussiana (passo didático antes de aplicar): a eliminação gaussiana consiste em aplicar operações elementares sobre linhas da matriz aumentada (trocar duas linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra) até obter zeros abaixo dos pivôs, produzindo a forma linha degrau. Um pivô é o primeiro número não nulo numa linha não nula (da esquerda para a direita). Essas operações preservam o conjunto de soluções do sistema.
Agora começo aplicando operações na matriz aumentada já escrita no Passo 1.
Matriz inicial (repito para visualização):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & 1 & 1\\[4pt] 2 & 1 & -1 & 2\\[4pt] 1 & 4 & -2 & 1\\[4pt] 5 & -8 & 2 & 5 \end{array}\right]]

Passo 3

Escolho a primeira linha como pivô para eliminar as entradas abaixo dela na primeira coluna.
  • Operações:
    • L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1.
    • L_3 \leftarrow L_3 - L_1.
    • L_4 \leftarrow L_4 - 5L_1.
Faço cada subtração componente a componente (mostrando as contas):
Para L_2 - 2L_1:
  • Primeira coluna: 2 - 2\cdot1 = 0.
  • Segunda: 1 - 2\cdot(-3) = 1 + 6 = 7.
  • Terceira: -1 - 2\cdot1 = -3.
  • Termo independente: 2 - 2\cdot1 = 0.
Para L_3 - L_1:
  • 1 - 1 = 0.
  • 4 - (-3) = 7.
  • -2 - 1 = -3.
  • 1 - 1 = 0.
Para L_4 - 5L_1:
  • 5 - 5 = 0.
  • -8 - 5\cdot(-3) = -8 + 15 = 7.
  • 2 - 5\cdot1 = -3.
  • 5 - 5\cdot1 = 0.
A matriz resultante é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 7 & -3 & 0\\[4pt] 0 & 7 & -3 & 0\\[4pt] 0 & 7 & -3 & 0 \end{array}\right].
Observação: as linhas L_2,L_3,L_4 ficaram idênticas; isso indica redundância entre as equações originais.]

Passo 4

Agora escolho a segunda linha (agora L_2) como pivô para a segunda coluna e elimino as entradas abaixo dela nessa coluna:
  • Operação:
    • L_3 \leftarrow L_3 - L_2.
    • L_4 \leftarrow L_4 - L_2.
Como L_3 e L_4 eram iguais a L_2, ambas se tornam a linha zero:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 7 & -3 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
Esta é uma forma linha degrau (row echelon form) da matriz aumentada: pivô na coluna 1 (linha 1) e pivô na coluna 2 (linha 2); as linhas 3 e 4 são nulas.]

Passo 5

Verificação de consistência: um sistema é inconsistente se, ao eliminar, aparece uma linha 0\\\ 0\\\ 0\\ |\\ b com b\neq0. Aqui as linhas nulas têm b=0. Portanto não apareceu tal linha; o sistema é consistente.
Também contamos pivôs: há dois pivôs (colunas 1 e 2), mas três incógnitas \,x_1,x_2,x_3. Logo há exatamente uma variável livre. A coluna sem pivô é a coluna 3, correspondente a x_3. Assim x_3 será a variável livre (podemos chamar o parâmetro t ou s).

Passo 6

Agora uso substituição reversa (back-substitution) para expressar as variáveis em função da(s) livre(s). Escrevo as equações correspondentes às duas primeiras linhas da forma linha degrau:
  • Da segunda linha:
0\cdot x_1 + 7 x_2 - 3 x_3 = 0,
ou seja
7 x_2 - 3 x_3 = 0.
  • Da primeira linha:
x_1 - 3 x_2 + x_3 = 1.
Como x_3 é livre, chamo x_3 = t, onde t\in\mathbb{R}.
Da segunda equação:
7 x_2 - 3t = 0 \quad\Rightarrow\quad x_2 = \frac{3}{7}t.
Da primeira:
x_1 - 3\left(\frac{3}{7}t\right) + t = 1.
Calculo passo a passo:
x_1 - \frac{9}{7}t + t = 1 \quad\Rightarrow\quad x_1 +\left(-\frac{9}{7}+\frac{7}{7}\right)t = 1,
x_1 - \frac{2}{7}t = 1 \quad\Rightarrow\quad x_1 = 1 + \frac{2}{7}t.
Portanto a solução geral em termos do parâmetro t é
x_1 = 1 + \frac{2}{7}t,\qquad x_2 = \frac{3}{7}t,\qquad x_3 = t,\quad t\in\mathbb{R}.
Para evitar frações podemos reparametrizar: tomando t = 7s com s\in\mathbb{R}, obtemos a forma mais simples
x_1 = 1 + 2s,\qquad x_2 = 3s,\qquad x_3 = 7s,\quad s\in\mathbb{R}.

Passo 7

Agora transformo a matriz para a forma linha degrau reduzida (RREF). Parto da forma linha degrau obtida no Passo 4:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 7 & -3 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
Passos para obter RREF:
  • Divido L_2 por 7 para tornar o pivô igual a 1: L_2 \leftarrow \frac{1}{7}L_2 \quad\Rightarrow\quad L_2 = [0\\\ 1\\\ -\tfrac{3}{7}\\ |\\\ 0].
  • Elimino o coeficiente acima do pivô da segunda coluna (na linha 1): L_1 \leftarrow L_1 + 3L_2.
    Calculo: na terceira coluna da linha 1: 1 + 3\cdot\left(-\tfrac{3}{7}\right) = 1 - \tfrac{9}{7} = -\tfrac{2}{7}.O termo independente da linha 1 fica 1 + 3\cdot 0 = 1. A primeira coluna já tem pivô 1, então não precisa ser alterada.
A matriz RREF (aumentada) resultante é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -\tfrac{2}{7} & 1\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{3}{7} & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
As equações correspondentes são
x_1 - \tfrac{2}{7}x_3 = 1,\qquad x_2 - \tfrac{3}{7}x_3 = 0,
que dão exatamente a mesma parametrização que obtivemos no Passo 6:
x_1 = 1 + \frac{2}{7}x_3,\qquad x_2 = \frac{3}{7}x_3,\qquad x_3\in\mathbb{R}.]

Resposta

\text{Matriz aumentada na forma linha degrau:}\quad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 7 & -3 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]
Sim, o sistema é consistente.
\text{Forma linha degrau reduzida (RREF) da matriz aumentada:}\quad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -\tfrac{2}{7} & 1\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{3}{7} & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]
\text{Solução geral (parâmetro }t\in\mathbb{R}\text{):}\quad x_1 = 1 + \tfrac{2}{7}t,\quad x_2 = \tfrac{3}{7}t,\quad x_3 = t.çãâ
\text{Forma alternativa sem frações (tomando }t=7s\text{):}\quad (x_1,x_2,x_3) = (1+2s,\;3s,\;7s),\quad s\in\mathbb{R}.çõ]

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