Para cada um dos sistemas de equações seguintes, use a eliminação gaussiana para obter um sistema equivalente cuja matriz de coeficientes está na forma linha degrau. Indique se o sistema é consistente. Se o sistema é consistente e não envolve variáveis livres, use substituição reversa para obter a solução única. Se o sistema é consistente e há variáveis livres, transforme-o para a forma linha degrau reduzida e obtenha todas as soluções.
\begin{array}{r} x_{1}+3 x_{2}+x_{3}+x_{4}=3 \\\\ 2 x_{1}-2 x_{2}+x_{3}+2 x_{4}=8 \\\ x_{1}-5 x_{2}+x_{4}=5 \end{array}

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{array}{r} x_{1}+3 x_{2}+x_{3}+x_{4}=3 \\\\ 2 x_{1}-2 x_{2}+x_{3}+2 x_{4}=8 \\\ x_{1}-5 x_{2}+x_{4}=5 \end{array}
As tarefas pedidas são:
  • Usar eliminação gaussiana para obter um sistema equivalente cuja matriz de coeficientes esteja na forma linha degrau.
  • Indicar se o sistema é consistente.
  • Se for consistente e não tiver variáveis livres: resolver por substituição reversa.
  • Se for consistente e houver variáveis livres: transformar para forma linha degrau reduzida (RREF) e obter todas as soluções.
Vou seguir passo a passo a eliminação, explicando cada operação e o significado (pivôs, variáveis livres, etc.).

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada do sistema (coeficientes e termo independente). Colocando as equações em forma matricial:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 1 & 1 & 3\\[4pt] 2 & -2 & 1 & 2 & 8\\[4pt] 1 & -5 & 0 & 1 & 5 \end{array}\right]
Explicação rápida: cada linha corresponde a uma equação; colunas correspondem a x_1,x_2,x_3,x_4 e a última coluna é o termo independente. As operações que podemos usar (operações elementares) são:
  • trocar duas linhas,
  • multiplicar uma linha por uma constante não nula,
  • somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
    Essas operações mantêm o conjunto de soluções do sistema.]

Passo 3

Queremos zerar abaixo do primeiro pivô (posição (1,1)). Usamos as operações
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - R_1.
Calculemos linha a linha.
Para R_2-2R_1:
\begin{array}{l} 2-2\cdot1 = 0,\\\\ -2-2\cdot3 = -2-6 = -8,\\\\ 1-2\cdot1 = -1,\\\\ 2-2\cdot1 = 0,\\\\ 8-2\cdot3 = 8-6 = 2. \end{array}
Então a nova R_2 é [0\\\ -8\\\ -1\\\ 0\mid 2].
Para R_3-R_1:
\begin{array}{l} 1-1 = 0,\\\\ -5-3 = -8,\\\\ 0-1 = -1,\\\\ 1-1 = 0,\\\\ 5-3 = 2. \end{array}
Então a nova R_3 é [0\\\ -8\\\ -1\\\ 0\mid 2].
A matriz aumentada fica
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 1 & 1 & 3\\[4pt] 0 & -8 & -1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & -8 & -1 & 0 & 2 \end{array}\right]]

Passo 4

Agora zeramos a terceira linha subtraindo R_2 de R_3:
R_3 \leftarrow R_3 - R_2.
Como R_3 e R_2 são iguais, obtemos uma linha de zeros:
R_3 = [0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\mid 0].
A matriz após essa etapa (esta é uma forma em linha degrau — row-echelon — porque cada linha não-nula tem número de zeros iniciais maior que a linha anterior) é
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 1 & 1 & 3\\[4pt] 0 & -8 & -1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]
Observação: poderíamos deixar o pivô da segunda linha como -8, ou escalá-lo para 1. Ambas as formas são aceitáveis para forma linha degrau; para facilitar a interpretação, vou escalar a segunda linha para ter pivô 1.]

Passo 5

Escalando R_2 por -\tfrac{1}{8} (ou seja R_2 \leftarrow -\tfrac{1}{8}R_2), obtemos
R_2 = \bigl[0\\\ 1\\ \tfrac{1}{8}\\\ 0\mid -\tfrac{1}{4}\bigr].
Assim a matriz em forma linha degrau fica
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 1 & 1 & 3\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{1}{8} & 0 & -\tfrac{1}{4}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
Interpretação sobre consistência: não apareceu nenhuma linha do tipo [0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\mid b] com b\neq 0. Logo o sistema é consistente (tem pelo menos uma solução).
Contagem de pivôs e variáveis: há pivôs nas colunas 1 e 2, ou seja x_1 e x_2 são variáveis pivô (dependentes). As colunas 3 e 4 (variáveis x_3 e x_4) não têm pivô e, portanto, são variáveis livres. Conclusão: o sistema é consistente e tem infinitas soluções parametrizadas por duas variáveis livres.]

Passo 6

Agora eu mostro como obter as relações das variáveis a partir da forma já escalada. As equações correspondentes às duas primeiras linhas são:
da primeira linha:
x_{1}+3x_{2}+x_{3}+x_{4}=3,
da segunda linha (já com pivô 1):
x_{2}+\tfrac{1}{8}x_{3}= -\tfrac{1}{4}.
Da segunda equação isolamos x_2:
x_{2} = -\tfrac{1}{4} - \tfrac{1}{8}x_{3}.
Substituímos essa expressão em x_1 (a equação da primeira linha) para obter x_1 em termos de x_3,x_4. Fazendo a substituição:
\begin{aligned} x_{1} &= 3 - 3x_{2} - x_{3} - x_{4}\\[4pt] &= 3 - 3\Bigl(-\tfrac{1}{4} - \tfrac{1}{8}x_{3}\Bigr) - x_{3} - x_{4}\\[4pt] &= 3 + \tfrac{3}{4} + \tfrac{3}{8}x_{3} - x_{3} - x_{4}\\[4pt] &= \tfrac{15}{4} - \tfrac{5}{8}x_{3} - x_{4}. \end{aligned}
Fiz as operações passo a passo para você seguir sem pular nada:
  • 3 - 3(-\tfrac{1}{4}) = 3 + \tfrac{3}{4} = \tfrac{15}{4}.
  • Coeficiente de x_3: -3(-\tfrac{1}{8}x_3) - x_3 = \tfrac{3}{8}x_3 - x_3 = -\tfrac{5}{8}x_3.
Portanto, em função de x_3 e x_4:
\begin{aligned} x_{1} &= \tfrac{15}{4} - \tfrac{5}{8}x_{3} - x_{4},\\[4pt] x_{2} &= -\tfrac{1}{4} - \tfrac{1}{8}x_{3},\\[4pt] x_{3} &\text{ livre},\qquad x_{4} \text{ livre}. \end{aligned}]

Passo 7

Para deixar a solução em forma mais clara, introduzimos parâmetros para as variáveis livres. Seja
x_{3}=s,\qquad x_{4}=t,\qquad s,t\in\mathbb{R}.
Substituindo,
\begin{aligned} x_{1} &= \tfrac{15}{4} - \tfrac{5}{8}s - t,\\[4pt] x_{2} &= -\tfrac{1}{4} - \tfrac{1}{8}s,\\[4pt] x_{3} &= s,\\[4pt] x_{4} &= t. \end{aligned}
Em forma vetorial (útil para ver a estrutura como combinação linear):
\begin{pmatrix}x_{1}\\[2pt]x_{2}\\[2pt]x_{3}\\[2pt]x_{4}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{15}{4}\\[2pt]-\tfrac{1}{4}\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}-\tfrac{5}{8}\\[2pt]-\tfrac{1}{8}\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-1\\[2pt]0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix}, \qquad s,t\in\mathbb{R}.]

Passo 8

Para cumprir a parte que pede a forma linha degrau reduzida (RREF), transformamos a matriz escalonada em forma reduzida zerando acima dos pivôs. Partindo da matriz escalonada
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 1 & 1 & 3\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{1}{8} & 0 & -\tfrac{1}{4}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right],
fazemos R_1 \leftarrow R_1 - 3R_2. Calculando:
\begin{aligned} \text{nova }R_1:\\ & 1,\quad 3-3\cdot1 = 0,\quad 1-3\cdot\tfrac{1}{8} = \tfrac{5}{8},\quad 1-3\cdot0 = 1,\\[4pt] &\text{termo independente: }3-3\cdot\Bigl(-\tfrac{1}{4}\Bigr)=3+\tfrac{3}{4}=\tfrac{15}{4}. \end{aligned}
Assim obtemos a forma linha degrau reduzida
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & \tfrac{5}{8} & 1 & \tfrac{15}{4}\\[6pt] 0 & 1 & \tfrac{1}{8} & 0 & -\tfrac{1}{4}\\[6pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
As equações correspondentes são exatamente as que usamos para expressar x_1 e x_2 em termos de x_3,x_4, portanto a parametrização da solução está consistente com a RREF que encontramos.]

Resposta

Matriz de coeficientes em forma linha degrau (uma opção escalonada obtida): \left[\begin{array}{cccc} 1 & 3 & 1 & 1\\[4pt] 0 & -8 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \quad\text{com vetor aumentado}\quad \left[\begin{array}{c}3\\[4pt]2\\[4pt]0\end{array}\right]
Sistema consistente: sim
Forma linha degrau reduzida (RREF): \left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & \tfrac{5}{8} & 1\\[6pt] 0 & 1 & \tfrac{1}{8} & 0\\[6pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \quad\text{com vetor aumentado}\quad \left[\begin{array}{c}\tfrac{15}{4}\\[6pt]-\tfrac{1}{4}\\[6pt]0\end{array}\right]

Todas as soluções (parâmetros s,t\in\mathbb{R}, onde x_3=s,\\ x_4=t):
[
\begin{pmatrix}x_{1}\\[2pt]x_{2}\\[2pt]x_{3}\\[2pt]x_{4}\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}\tfrac{15}{4}\\[2pt]-\tfrac{1}{4}\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}
  • s \begin{pmatrix}-\tfrac{5}{8}\\[2pt]-\tfrac{1}{8}\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix}
  • t \begin{pmatrix}-1\\[2pt]0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix},\qquad s,t\in\mathbb{R}.]

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