Para cada um dos sistemas de equações seguintes, use a eliminação gaussiana para obter um sistema equivalente cuja matriz de coeficientes está na forma linha degrau. Indique se o sistema é consistente. Se o sistema é consistente e não envolve variáveis livres, use substituição reversa para obter a solução única. Se o sistema é consistente e há variáveis livres, transforme-o para a forma linha degrau reduzida e obtenha todas as soluções.
Explicação rápida: cada linha corresponde a uma equação; colunas correspondem a x_1,x_2,x_3,x_4 e a última coluna é o termo independente. As operações que podemos usar (operações elementares) são:
trocar duas linhas,
multiplicar uma linha por uma constante não nula,
somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
Essas operações mantêm o conjunto de soluções do sistema.]
Passo 3
Queremos zerar abaixo do primeiro pivô (posição (1,1)). Usamos as operações
Agora zeramos a terceira linha subtraindo R_2 de R_3:
R_3 \leftarrow R_3 - R_2.
Como R_3 e R_2 são iguais, obtemos uma linha de zeros:
R_3 = [0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\mid 0].
A matriz após essa etapa (esta é uma forma em linha degrau — row-echelon — porque cada linha não-nula tem número de zeros iniciais maior que a linha anterior) é
Observação: poderíamos deixar o pivô da segunda linha como -8, ou escalá-lo para 1. Ambas as formas são aceitáveis para forma linha degrau; para facilitar a interpretação, vou escalar a segunda linha para ter pivô 1.]
Passo 5
Escalando R_2 por -\tfrac{1}{8} (ou seja R_2 \leftarrow -\tfrac{1}{8}R_2), obtemos
Interpretação sobre consistência: não apareceu nenhuma linha do tipo [0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\mid b] com b\neq 0. Logo o sistema é consistente (tem pelo menos uma solução).
Contagem de pivôs e variáveis: há pivôs nas colunas 1 e 2, ou seja x_1 e x_2 são variáveis pivô (dependentes). As colunas 3 e 4 (variáveis x_3 e x_4) não têm pivô e, portanto, são variáveis livres. Conclusão: o sistema é consistente e tem infinitas soluções parametrizadas por duas variáveis livres.]
Passo 6
Agora eu mostro como obter as relações das variáveis a partir da forma já escalada. As equações correspondentes às duas primeiras linhas são:
da primeira linha:
x_{1}+3x_{2}+x_{3}+x_{4}=3,
da segunda linha (já com pivô 1):
x_{2}+\tfrac{1}{8}x_{3}= -\tfrac{1}{4}.
Da segunda equação isolamos x_2:
x_{2} = -\tfrac{1}{4} - \tfrac{1}{8}x_{3}.
Substituímos essa expressão em x_1 (a equação da primeira linha) para obter x_1 em termos de x_3,x_4. Fazendo a substituição:
Para cumprir a parte que pede a forma linha degrau reduzida (RREF), transformamos a matriz escalonada em forma reduzida zerando acima dos pivôs. Partindo da matriz escalonada
As equações correspondentes são exatamente as que usamos para expressar x_1 e x_2 em termos de x_3,x_4, portanto a parametrização da solução está consistente com a RREF que encontramos.]
Resposta
Matriz de coeficientes em forma linha degrau (uma opção escalonada obtida): \left[\begin{array}{cccc} 1 & 3 & 1 & 1\\[4pt] 0 & -8 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \quad\text{com vetor aumentado}\quad \left[\begin{array}{c}3\\[4pt]2\\[4pt]0\end{array}\right]