Use a Regra da Cadeia para achar d z / d t.
z=x^2+y^2+x y, x=sen(t), y=e^t

Passo 1

O enunciado define a função de duas variáveis
z = x^2 + y^2 + x,y,
onde x e y dependem de t segundo
x = sin(t), y = e^t
O objetivo é usar a regra da cadeia para encontrar dfracdzdt.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de z em relação a x e y:
partial zpartial x = 2x + y,
partial zpartial y = 2y + x

Passo 3

Agora derivamos x e y em relação a t:
dxdt = cos(t),
dydt = e^t

Passo 4

Pela regra da cadeia para funções de várias variáveis,
dzdt = partial zpartial x,dxdt + partial zpartial y,dydt

Passo 5

Substituindo as derivadas parciais e as derivadas de x e y,
dzdt = l(2x + yr)cos(t) + l(2y + xr)e^t
Como x=sin(t) e y=e^t, fica
dzdt = l(2sin(t) + e^tr)cos(t) + l(2e^t + sin(t)r)e^t,
que pode ser distribuído para
dzdt = 2sin(t)cos(t) + e^tcos(t) + 2e^2t + sin(t)e^t

Resposta

dzdt = 2sin(t)cos(t) + e^tcos(t) + 2e^2t + sin(t)e^t

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