Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
sumn=1^+infty(-1)^n n!2^n+1

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
sumn=1^infty(-1)^n,n!2^n+1
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar dois testes principais: o teste da razão para a convergência absoluta e, em seguida, verificar se os termos gerais tendem a zero para qualquer tipo de convergência.

Passo 2

Analisamos a convergência absoluta estudando
sumn=1^infty|;(-1)^n,n!2^n+1| =sumn=1^inftyn!2^n+1
Aplicamos o teste da razão a an = n!/2^n+1:
an+1an =(n+1)!2^,n+2 n!2^,n+1 =(n+1)!n!,2^,n+12^,n+2 =n+12
Como limntoinfty(n+1)/2 = +infty >1, a série de termos não negativos diverge pelo teste da razão. Logo, não há convergência absoluta.

Passo 3

Para qualquer convergência (mesmo condicional), é necessário que os termos gerais da série tendam a zero. Aqui o termo geral é
un = (-1)^n,n!2^n+1
Examinamos o módulo:
|un| = n!2^n+1
Mas do teste da razão já vimos que n!2^n+1 cresce sem limite (razão maior que 1 para n grande), logo
limntoinfty|un| = +inftyneq0
Em particular limntoinftyun não é zero.

Passo 4

Como a condição limntoinftyun=0 falha, a série não pode convergir, nem mesmo de forma condicional.

Resposta

A série diverge.

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