Use a Regra da Cadeia para achar d w / d t.
w=ln raizx^2+y^2+z^2, x=sen t, y=cos t, z=tg t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usar a Regra da Cadeia para encontrar $ \frac{dw}{dt} $. Estamos lidando com funções compostas onde $ w $ depende de $ x $, $ y $ e $ z $, que por sua vez dependem de $ t $. Então, vamos precisar aplicar a Regra da Cadeia da derivação para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como $ w $ está definido:
w
Isso significa que $ w $ é o logaritmo natural da raiz quadrada da soma dos quadrados de $ x $, $ y $ e $ z $.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar $ \frac{dw}{dt} $. Para isso, vamos aplicar a Regra da Cadeia, que, para funções de várias variáveis, é dada por:
dwdt
Então, precisamos encontrar as derivadas parciais de $ w $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $, além das derivadas de $ x $, $ y $ e $ z $ em relação a $ t $.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais:
Primeiro, simplificamos $ w $:
w
Agora, a derivada parcial de $ w $ em relação a $ x $ é:
w = ln ( (x^2 + y^2 + z^2)^1/2 ) = 12 ln (x^2 + y^2 + z^2)
Analogamente:
w
x

Passo 5

Agora, vamos encontrar as derivadas de $ x $, $ y $ e $ z $ em relação a $ t $:
Dado que:
x
y
z

Passo 6

Agora, substituímos tudo na fórmula da Regra da Cadeia:
dwdt = xx^2 + y^2 + z^2 cdot cos t + yx^2 + y^2 + z^2 cdot (-sin t) + zx^2 + y^2 + z^2 cdot sec^2 t

Passo 7

Vamos simplificar a expressão. Primeiro, substituímos $ x $, $ y $ e $ z $ pelas funções de $ t $:
x
y
z
Então:
t
Sabemos que $ \sin^{2} t + \cos^{2} t = 1 $, então:
x = sin t

Passo 8

Agora, substituímos $ x^{2} + y^{2} + z^{2} $ por $ \sec^{2} t $ na expressão de $ \frac{dw}{dt} $:
x^2 + y^2 + z^2
Simplificando cada termo:
  • Primeiro termo:
    sec^2 t
  • Segundo termo:
    dwdt
  • Terceiro termo:
    dwdt = sin tsec^2 t cdot cos t + cos tsec^2 t cdot (-sin t) + tan tsec^2 t cdot sec^2 t

Passo 9

Agora, somamos os três termos:
dwdt = sin t cdot cos^3 t - sin t cdot cos^3 t + tan t
Os dois primeiros termos se cancelam:
dwdt = tan t

Resposta

dwdt = tan t

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