Use a Regra da Cadeia para achar
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usar a Regra da Cadeia para encontrar $ \frac{dw}{dt} $. Estamos lidando com funções compostas onde $ w $ depende de $ x $, $ y $ e $ z $, que por sua vez dependem de $ t $. Então, vamos precisar aplicar a Regra da Cadeia da derivação para funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como $ w $ está definido:
Isso significa que $ w $ é o logaritmo natural da raiz quadrada da soma dos quadrados de $ x $, $ y $ e $ z $.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar $ \frac{dw}{dt} $. Para isso, vamos aplicar a Regra da Cadeia, que, para funções de várias variáveis, é dada por:
Então, precisamos encontrar as derivadas parciais de $ w $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $, além das derivadas de $ x $, $ y $ e $ z $ em relação a $ t $.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais:
Primeiro, simplificamos $ w $:
Agora, a derivada parcial de $ w $ em relação a $ x $ é:
Analogamente:
Passo 5
Agora, vamos encontrar as derivadas de $ x $, $ y $ e $ z $ em relação a $ t $:
Dado que:
Passo 6
Agora, substituímos tudo na fórmula da Regra da Cadeia:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão. Primeiro, substituímos $ x $, $ y $ e $ z $ pelas funções de $ t $:
Então:
Sabemos que $ \sin^{2} t + \cos^{2} t = 1 $, então:
Passo 8
Agora, substituímos $ x^{2} + y^{2} + z^{2} $ por $ \sec^{2} t $ na expressão de $ \frac{dw}{dt} $:
Simplificando cada termo:
-
Primeiro termo:
-
Segundo termo:
-
Terceiro termo:
Passo 9
Agora, somamos os três termos:
Os dois primeiros termos se cancelam: