Use a Regra da Cadeia para achar d z / d t ou d w / d t.
3. z=\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}, x=\ln t, y=\cos t

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Foi dada a função composta z=\sqrt{1+x^{2}+y^{2}} onde x e y dependem de t:
    • x=\ln t
    • y=\cos t
  • O que o enunciado pede: encontrar \dfrac{dz}{dt}.

Passo 2

Explicando a regra que vamos usar (Regra da Cadeia para funções de várias variáveis).
Quando z=f(x,y) e x=x(t),\,y=y(t), a variação de z em relação a t é dada pela soma das contribuições de x e de y:
\frac{dz}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.
Aqui \dfrac{\partial f}{\partial x} é a derivada parcial de f em relação a x (trata-se y como constante) e \dfrac{\partial f}{\partial y} é análoga (trata-se x como constante). A ideia é que pequenas variações em x e em y geram variação total em z, somadas com seus pesos apropriados.

Passo 3

Aplicar isso ao nosso f(x,y)=\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}. Primeiro escrevemos f de forma conveniente:
f(x,y)=(1+x^{2}+y^{2})^{1/2}.
Agora calculamos as derivadas parciais passo a passo.
Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{2}(1+x^{2}+y^{2})^{-1/2}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}}.
Explicação curta: usou-se a regra da cadeia (derivada de uma potência) e a derivada de x^{2} que é 2x.
Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{2}(1+x^{2}+y^{2})^{-1/2}\cdot 2y=\frac{y}{\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}}.

Passo 4

Agora calculamos as derivadas de x(t) e y(t) em relação a t.
  • Para x=\ln t: a derivada é
\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}(\ln t)=\frac{1}{t}.
Razão: derivada do log natural é 1/t.
  • Para y=\cos t: a derivada é
\frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}(\cos t)=-\sin t.
Razão: derivada do cosseno é -\sin.

Passo 5

Agora juntamos tudo na fórmula da Regra da Cadeia:
\frac{dz}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.
Substituindo as parciais e as derivadas que já achamos:
\frac{dz}{dt}=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}}\cdot\frac{1}{t}+\frac{y}{\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}}\cdot(-\sin t).
Podemos juntar os termos sobre o mesmo denominador:
\frac{dz}{dt}=\frac{x\cdot\frac{1}{t}+y\cdot(-\sin t)}{\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}} =\frac{\dfrac{x}{t}-y\sin t}{\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}}.

Passo 6

Finalmente substituímos x=\ln t e y=\cos t para obter a expressão em termos de t apenas:
\frac{dz}{dt}=\frac{\dfrac{\ln t}{t}-\cos t\sin t}{\sqrt{1+(\ln t)^{2}+\cos^{2}t}}.
Se preferir separar em dois termos:
\frac{dz}{dt}=\frac{\ln t}{t\,\sqrt{1+(\ln t)^{2}+\cos^{2}t}}-\frac{\cos t\sin t}{\sqrt{1+(\ln t)^{2}+\cos^{2}t}}.
Vai ficar tudo certo na prova: aplica-se a regra da cadeia, calcula-se parciais, depois deriva-se x(t) e y(t) e substitui.

Resposta

\frac{dz}{dt}=\frac{\dfrac{\ln t}{t}-\cos t\sin t}{\sqrt{1+(\ln t)^{2}+\cos^{2}t}}

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