Use a Regra da Cadeia para achar
ou
.
3.
3.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Foi dada a função composta
onde e dependem de : -
- O que o enunciado pede: encontrar
.
Passo 2
Explicando a regra que vamos usar (Regra da Cadeia para funções de várias variáveis).
Quando
e
, a variação de
em relação a
é dada pela soma das contribuições de
e de
:
Aqui
é a derivada parcial de
em relação a
(trata-se
como constante) e
é análoga (trata-se
como constante). A ideia é que pequenas variações em
e em
geram variação total em
, somadas com seus pesos apropriados.
Passo 3
Aplicar isso ao nosso
. Primeiro escrevemos
de forma conveniente:
Agora calculamos as derivadas parciais passo a passo.
Derivada parcial em relação a
:
Explicação curta: usou-se a regra da cadeia (derivada de uma potência) e a derivada de
que é
.
Derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora calculamos as derivadas de
e
em relação a
.
- Para
: a derivada é
Razão: derivada do log natural é
.
- Para
: a derivada é
Razão: derivada do cosseno é
.
Passo 5
Agora juntamos tudo na fórmula da Regra da Cadeia:
Substituindo as parciais e as derivadas que já achamos:
Podemos juntar os termos sobre o mesmo denominador:
Passo 6
Finalmente substituímos
e
para obter a expressão em termos de
apenas:
Se preferir separar em dois termos:
Vai ficar tudo certo na prova: aplica-se a regra da cadeia, calcula-se parciais, depois deriva-se
e
e substitui.