Seja T: \mathbb{R}^{4} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear tal que T\left(e_{1}\right)=(1,-2,1), T\left(e_{2}\right)=(-1,0,-1), T\left(e_{3}\right)=(0,-1,2) e T\left(e_{4}\right)=(1,-3,1), sendo \left\{e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}\right\} a base canônica do \mathbb{R}^{4}.
a) Determinar o núcleo e a imagem de T .
b) Determinar bases para o núcleo e para a imagem.
(c) Verificar o Teorema da Dimensão.
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3 definida nas vetoras da base canônica por:
Faço R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1 (para eliminar o -2 na primeira entrada da segunda linha) e R_3 \leftarrow R_3 - R_1 (para zerar a primeira entrada da terceira linha):
A redução por linhas que fiz antes também permite ver relações lineares entre as colunas: na forma reduzida as três primeiras colunas correspondem aos vetores canônicos (1,0,0)^\top,(0,1,0)^\top,(0,0,1)^\top e a quarta coluna reduzida é \big(\tfrac{3}{2},\tfrac{1}{2},0\big)^\top. Como operações elementares por linhas preservam dependências lineares entre colunas, obtém-se a relação
Determinar a dimensão da imagem e concluir se \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^3. Como encontramos três pivôs (colunas 1,2 e 3), \dim(\operatorname{Im}(T))=3. O espaço imagem está dentro de \mathbb{R}^3, que tem dimensão 3; logo \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^3. Em particular T é sobrejetora.
Uma base conveniente para \operatorname{Im}(T) é \{T(e_1),T(e_2),T(e_3)\}, ou escrevendo explicitamente:
(b) Base do núcleo: \left\{\begin{pmatrix}-3\\[4pt]-1\\[4pt]0\\[4pt]2\end{pmatrix}\right\}.
Base da imagem: \left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\\[4pt]1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\\[4pt]-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\[4pt]-1\\[4pt]2\end{pmatrix}\right\}.
(c) \dim(\ker(T))=1, \dim(\operatorname{Im}(T))=3 e 1+3=4=\dim(\mathbb{R}^4). Teorema da Dimensão verificado.]