Determinar o núcleo, uma base para esse subespaço e sua dimensāo. T é injetora? Justificar.
Determinar a imagem, uma base para esse subespaço e sua dimensāo. T é sobrejetora? Justificar.
T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3}, T(x, y, z)=(x-y-2 z,-x+2 y+z, x-3 z)

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z)=(x-y-2z,\;-x+2y+z,\;x-3z).
As perguntas são:
  • Determinar o núcleo de T, dar uma base desse subespaço e sua dimensão. T é injetora? Justificar.
  • Determinar a imagem de T, dar uma base desse subespaço e sua dimensão. T é sobrejetora? Justificar.
Informações relevantes dadas:
  • A regra explícita de T para vetores (x,y,z) está acima.
  • Espaços de partida e chegada são ambos \mathbb{R}^3.

Passo 2

Primeiro vamos escrever a matriz da transformação T em relação à base canônica de \mathbb{R}^3. Para isso calculamos T aplicado aos vetores da base canônica:
  • T(1,0,0)= (1,-1,1).
  • T(0,1,0)= (-1,2,0).
  • T(0,0,1)= (-2,1,-3).
A matriz A de T (colunas sendo as imagens dos vetores da base canônica) é
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2\\[4pt] -1 & 2 & 1\\[4pt] 1 & 0 & -3 \end{pmatrix}.
Explicação rápida: representar T por uma matriz facilita achar núcleo (soluções de A\vec{v}=\vec{0}) e imagem (espaço gerado pelas colunas).]

Passo 3

Vamos achar o núcleo: resolver A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}. Isso dá o sistema linear
\begin{cases} x - y - 2z = 0,\\[4pt] - x + 2y + z = 0,\\[4pt] x - 3z = 0. \end{cases}
Vou resolver por substituição, passo a passo, comentando cada etapa (método simples e rápido em prova).]

Passo 4

Da terceira equação temos diretamente
x - 3z = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 3z.
Substituindo x=3z na primeira equação:
3z - y - 2z = 0 \quad\Rightarrow\quad z - y = 0 \quad\Rightarrow\quad y = z.
Substituindo x=3z e y=z na segunda equação:
-3z + 2z + z = 0 \quad\Rightarrow\quad 0=0,
o que é automaticamente satisfeito. Portanto a solução geral é
(x,y,z) = (3z,\,z,\,z) = z\,(3,1,1),\qquad z\in\mathbb{R}.
Isto mostra que o núcleo é uma reta através da origem gerada pelo vetor (3,1,1).

Passo 5

Concluições sobre o núcleo:
  • \ker(T)=\operatorname{span}\{(3,1,1)\}.
  • Uma base de \ker(T) é \{(3,1,1)\}.
  • \dim(\ker(T))=1.
Teste de injetividade: uma transformação linear é injetora se, e só se, \ker(T)=\{\vec{0}\}. Aqui \ker(T) contém vetores não-nulos (por exemplo (3,1,1)), então T não é injetora.

Passo 6

Agora a imagem: por definição, \operatorname{Im}(T) é o subespaço de \mathbb{R}^3 gerado pelas colunas da matriz A, isto é
\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{(1,-1,1),\;(-1,2,0),\;(-2,1,-3)\}.
Para achar uma base e a dimensão, verificamos dependências lineares entre essas colunas.

Passo 7

Procuramos números a,b\) tais que \[a(1,-1,1)+b(-1,2,0)=(-2,1,-3).
Isso gera o sistema (comparando coordenadas):
\begin{cases} a - b = -2,\\[4pt] - a + 2b = 1,\\[4pt] a = -3. \end{cases}
Da terceira equação vem a=-3\]. Substituindo em \(a-b=-2 -3-b=-2 logo b=-1. Verifica-se que a segunda equação também é satisfeita (confere -(-3)+2(-1)=3-2=1). Portanto
(-2,1,-3) = -3\,(1,-1,1) -1\,(-1,2,0).
Assim a terceira coluna é combinação linear das duas primeiras, logo as colunas 1 e 2 geram toda a imagem e são linearmente independentes (não são múltiplos um do outro). Consequentemente:
  • \operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{(1,-1,1),\,(-1,2,0)\}.
  • Uma base para \operatorname{Im}(T) é \{(1,-1,1),\,(-1,2,0)\}.
  • \dim(\operatorname{Im}(T))=2.]

Passo 8

Teste de sobrejetividade: T é sobrejetora se \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^3, o que ocorreria somente se \dim(\operatorname{Im}(T))=3. Aqui \dim(\operatorname{Im}(T))=2<3, logo T não é sobrejetora.
Também podemos checar a relação de dimensão (teorema do posto-nulidade):
\dim(\ker(T))+\dim(\operatorname{Im}(T))=1+2=3=\dim(\mathbb{R}^3),
o que confirma consistência dos cálculos.

Resposta

\ker(T)=\operatorname{span}\{(3,1,1)\}, base \{(3,1,1)\}, \dim(\ker(T))=1. T não é injetora.
\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{(1,-1,1),\,(-1,2,0)\}, base \{(1,-1,1),\,(-1,2,0)\}, \dim(\operatorname{Im}(T))=2. T não é sobrejetora.

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