Determinar o núcleo, uma base para esse subespaço e sua dimensāo. T é injetora? Justificar.
Determinar a imagem, uma base para esse subespaço e sua dimensāo. T é sobrejetora? Justificar. T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3}, T(x, y, z)=(x-y-2 z,-x+2 y+z, x-3 z)
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z)=(x-y-2z,\;-x+2y+z,\;x-3z).
As perguntas são:
Determinar o núcleo de T, dar uma base desse subespaço e sua dimensão. T é injetora? Justificar.
Determinar a imagem de T, dar uma base desse subespaço e sua dimensão. T é sobrejetora? Justificar.
Informações relevantes dadas:
A regra explícita de T para vetores (x,y,z) está acima.
Espaços de partida e chegada são ambos \mathbb{R}^3.
Passo 2
Primeiro vamos escrever a matriz da transformação T em relação à base canônica de \mathbb{R}^3. Para isso calculamos T aplicado aos vetores da base canônica:
T(1,0,0)= (1,-1,1).
T(0,1,0)= (-1,2,0).
T(0,0,1)= (-2,1,-3).
A matriz A de T (colunas sendo as imagens dos vetores da base canônica) é
Isto mostra que o núcleo é uma reta através da origem gerada pelo vetor (3,1,1).
Passo 5
Concluições sobre o núcleo:
\ker(T)=\operatorname{span}\{(3,1,1)\}.
Uma base de \ker(T) é \{(3,1,1)\}.
\dim(\ker(T))=1.
Teste de injetividade: uma transformação linear é injetora se, e só se, \ker(T)=\{\vec{0}\}. Aqui \ker(T) contém vetores não-nulos (por exemplo (3,1,1)), então T não é injetora.
Passo 6
Agora a imagem: por definição, \operatorname{Im}(T) é o subespaço de \mathbb{R}^3 gerado pelas colunas da matriz A, isto é
Para achar uma base e a dimensão, verificamos dependências lineares entre essas colunas.
Passo 7
Procuramos números a,b\) tais que
\[a(1,-1,1)+b(-1,2,0)=(-2,1,-3).
Isso gera o sistema (comparando coordenadas):
\begin{cases} a - b = -2,\\[4pt] - a + 2b = 1,\\[4pt] a = -3. \end{cases}
Da terceira equação vem a=-3\]. Substituindo em \(a-b=-2 dá -3-b=-2 logo b=-1. Verifica-se que a segunda equação também é satisfeita (confere -(-3)+2(-1)=3-2=1). Portanto
(-2,1,-3) = -3\,(1,-1,1) -1\,(-1,2,0).
Assim a terceira coluna é combinação linear das duas primeiras, logo as colunas 1 e 2 geram toda a imagem e são linearmente independentes (não são múltiplos um do outro). Consequentemente:
Uma base para \operatorname{Im}(T) é \{(1,-1,1),\,(-1,2,0)\}.
\dim(\operatorname{Im}(T))=2.]
Passo 8
Teste de sobrejetividade: T é sobrejetora se \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^3, o que ocorreria somente se \dim(\operatorname{Im}(T))=3. Aqui \dim(\operatorname{Im}(T))=2<3, logo T não é sobrejetora.
Também podemos checar a relação de dimensão (teorema do posto-nulidade):
\ker(T)=\operatorname{span}\{(3,1,1)\}, base \{(3,1,1)\}, \dim(\ker(T))=1. T não é injetora. \operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{(1,-1,1),\,(-1,2,0)\}, base \{(1,-1,1),\,(-1,2,0)\}, \dim(\operatorname{Im}(T))=2. T não é sobrejetora.