Use a Regra da cadeia para calcular as derivadas das seguintes funções:
f(x)=\left(\frac{3 x+4}{6 x-7}\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\left(\frac{3x+4}{6x-7}\right)^{3}.
Dados relevantes: a função está definida para x tal que o denominador não seja zero, ou seja x\neq \tfrac{7}{6}. A tarefa é encontrar f'(x), a derivada em termos de x.

Passo 2

Observação sobre a estrutura da função (sem resolver ainda): a função é uma potência de algo — isto é, é uma composição do tipo f(x)=g(u(x)) onde a parte externa é uma potência e a parte interna é uma razão (quociente) de funções lineares. Por isso faz sentido aplicar a regra que diz como derivar uma composição: se f(x)=g(u(x)), então
f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Aqui vou chamar a parte interna de u(x) e a parte externa de g(t) (onde t representa a variável de g). Essa escolha é natural porque simplifica o cálculo passo a passo.

Passo 3

Defino explicitamente as funções interna e externa:
u(x)=\frac{3x+4}{6x-7},\qquad g(t)=t^{3}.
Agora derivamos g em relação a t. A derivada de g(t)=t^{3} é a regra do polinômio:
g'(t)=3t^{2}.
Isso significa, pela regra da composição, que a contribuição da parte externa é g'\bigl(u(x)\bigr)=3\bigl(u(x)\bigr)^{2}.

Passo 4

Precisamos de u'(x). Como u(x) é um quociente, uso a regra do quociente: se u(x)=\dfrac{v(x)}{w(x)}, então
u'(x)=\frac{v'(x)\,w(x)-v(x)\,w'(x)}{\bigl(w(x)\bigr)^{2}}.
Aqui tomo v(x)=3x+4 e w(x)=6x-7. Calculo as derivadas:
v'(x)=3,\qquad w'(x)=6.
Aplicando a fórmula do quociente:
u'(x)=\frac{3\,(6x-7)-(3x+4)\,6}{(6x-7)^{2}}.
Faço as contas no numerador passo a passo:
3\,(6x-7)=18x-21,
(3x+4)\,6=18x+24,
subtraindo:
(18x-21)-(18x+24)=-21-24=-45.
Logo
u'(x)=\frac{-45}{(6x-7)^{2}}.

Passo 5

Agora junto tudo pela regra da composição: f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x). Substituo g' e u':
f'(x)=3\bigl(u(x)\bigr)^{2}\cdot\frac{-45}{(6x-7)^{2}}.
Lembro que \bigl(u(x)\bigr)^{2}=\left(\dfrac{3x+4}{6x-7}\right)^{2}=\dfrac{(3x+4)^{2}}{(6x-7)^{2}}. Então
f'(x)=3\cdot\frac{(3x+4)^{2}}{(6x-7)^{2}}\cdot\frac{-45}{(6x-7)^{2}}.
Multiplico os fatores constantes e junto os denominadores:
3\cdot(-45)=-135,
e
(6x-7)^{2}\cdot(6x-7)^{2}=(6x-7)^{4}.
Portanto
f'(x)=\frac{-135\,(3x+4)^{2}}{(6x-7)^{4}}.

Passo 6

Interpretando o resultado: a derivada ficou numa forma simplificada e claramente definida para x\neq \tfrac{7}{6}. Podemos escrever com sinal negativo destacado:
f'(x)=-\frac{135\,(3x+4)^{2}}{(6x-7)^{4}}.
Se quiseres, dá para verificar rapidamente um caso numérico (por exemplo x=0) para garantir que o sinal e a magnitude fazem sentido.

Resposta

f'(x)=-\frac{135\,(3x+4)^{2}}{(6x-7)^{4}}

Exercícios relacionados