Use a Regra da cadeia para calcular as derivadas das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Dados relevantes: a função está definida para
tal que o denominador não seja zero, ou seja
. A tarefa é encontrar
, a derivada em termos de
.
Passo 2
Observação sobre a estrutura da função (sem resolver ainda): a função é uma potência de algo — isto é, é uma composição do tipo
onde a parte externa é uma potência e a parte interna é uma razão (quociente) de funções lineares. Por isso faz sentido aplicar a regra que diz como derivar uma composição: se
, então
Aqui vou chamar a parte interna de
e a parte externa de
(onde
representa a variável de
). Essa escolha é natural porque simplifica o cálculo passo a passo.
Passo 3
Defino explicitamente as funções interna e externa:
Agora derivamos
em relação a
. A derivada de
é a regra do polinômio:
Isso significa, pela regra da composição, que a contribuição da parte externa é
.
Passo 4
Precisamos de
. Como
é um quociente, uso a regra do quociente: se
, então
Aqui tomo
e
. Calculo as derivadas:
Aplicando a fórmula do quociente:
Faço as contas no numerador passo a passo:
subtraindo:
Logo
Passo 5
Agora junto tudo pela regra da composição:
. Substituo
e
:
Lembro que
. Então
Multiplico os fatores constantes e junto os denominadores:
e
Portanto
Passo 6
Interpretando o resultado: a derivada ficou numa forma simplificada e claramente definida para
. Podemos escrever com sinal negativo destacado:
Se quiseres, dá para verificar rapidamente um caso numérico (por exemplo
) para garantir que o sinal e a magnitude fazem sentido.