Calcule a derivada de segunda ordem das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a derivada de segunda ordem da função
.\n
Informações importantes dadas:
.\n
Domínio implícito: (porque o denominador não pode ser zero).\n
Objetivo final: encontrar , a segunda derivada de
.
Informações importantes dadas:
Domínio implícito:
Objetivo final: encontrar
Passo 2
Estratégia escolhida: é mais simples transformar a fração em uma soma de termos mais fáceis de derivar antes de aplicar regras de derivação. Vou fazer a divisão polinomial (ou decomposição) de
.\n
Explicando a ideia: dividir polinômios como em aritmética dá um termo polinomial (quociente) mais um resto sobre o divisor, e geralmente isso simplifica derivadas porque um polinômio tem derivadas fáceis.
Explicando a ideia: dividir polinômios como em aritmética dá um termo polinomial (quociente) mais um resto sobre o divisor, e geralmente isso simplifica derivadas porque um polinômio tem derivadas fáceis.
Passo 3
Realizo a divisão: quero escrever
na forma
, onde
e
são constantes.\n
Faço , porque
e sobra
.\n
Portanto,
Faço
Portanto,
Passo 4
Agora temos
. Antes de derivar, lembro duas regras básicas (vou explicá-las com calma):
- Regra da derivada de uma constante: se
é constante, então . - Regra da potência (caso geral/composição): para
com real, . Aqui . Essa é a combinação da regra da potência com a regra da cadeia (quando há uma função dentro de outra). No nosso caso vamos usar para e , por exemplo.
Explicando a regra da potência de forma bem direta: para
,
. Se tiver uma função interna
, então
.
Passo 5
Calculo a primeira derivada
.\n
Parto de (escrevi
como
para aplicar a regra da potência).\n
Aplicando as regras do Passo 4:
Parto de
Aplicando as regras do Passo 4:
- Derivada de
é . - Para
, uso a regra da potência com e . Assim,
Portanto,
Se quiser em forma de fração:
Passo 6
Agora calculo a segunda derivada
derivando
.\n
Novamente aplico a regra da potência/chain rule: para com
,
Novamente aplico a regra da potência/chain rule: para
Como há um sinal negativo à frente, tenho
Em forma de fração:
Passo 7
Verificação rápida (opcional, mas dá segurança): poderia ter usado a regra do quociente diretamente em
para obter
e então derivar de novo; o resultado deve coincidir com
para a primeira derivada e com
para a segunda. A forma simplificada usada aqui evita contas a mais e é mais rápida na prova.