Calcule a derivada de segunda ordem das seguintes funções:
\frac{3 x+4}{x+1}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a derivada de segunda ordem da função \displaystyle f(x)=\frac{3x+4}{x+1}.\n
Informações importantes dadas:
\displaystyle f(x)=\frac{3x+4}{x+1}.\n
Domínio implícito: \displaystyle x\neq -1 (porque o denominador não pode ser zero).\n
Objetivo final: encontrar \displaystyle f''(x), a segunda derivada de \displaystyle f.

Passo 2

Estratégia escolhida: é mais simples transformar a fração em uma soma de termos mais fáceis de derivar antes de aplicar regras de derivação. Vou fazer a divisão polinomial (ou decomposição) de \displaystyle \frac{3x+4}{x+1}.\n
Explicando a ideia: dividir polinômios como em aritmética dá um termo polinomial (quociente) mais um resto sobre o divisor, e geralmente isso simplifica derivadas porque um polinômio tem derivadas fáceis.

Passo 3

Realizo a divisão: quero escrever \displaystyle \frac{3x+4}{x+1} na forma \displaystyle A + \frac{B}{x+1}, onde A e B são constantes.\n
Faço 3x+4 = 3(x+1) + 1, porque 3(x+1)=3x+3 e sobra 1.\n
Portanto,
\frac{3x+4}{x+1}=3+\frac{1}{x+1}.

Passo 4

Agora temos \displaystyle f(x)=3+\frac{1}{x+1}. Antes de derivar, lembro duas regras básicas (vou explicá-las com calma):
  • Regra da derivada de uma constante: se c é constante, então \displaystyle \frac{d}{dx}c=0.
  • Regra da potência (caso geral/composição): para \displaystyle g(x)=(x+1)^n com n real, \displaystyle g'(x)=n(x+1)^{n-1}\cdot (x+1)'. Aqui (x+1)'=1. Essa é a combinação da regra da potência com a regra da cadeia (quando há uma função dentro de outra). No nosso caso vamos usar para n=-1 e n=-2, por exemplo.
Explicando a regra da potência de forma bem direta: para \displaystyle h(x)=x^n, \displaystyle h'(x)=n x^{n-1}. Se tiver uma função interna u(x), então \displaystyle \frac{d}{dx}u(x)^n = n u(x)^{n-1}\cdot u'(x).

Passo 5

Calculo a primeira derivada \displaystyle f'(x).\n
Parto de \displaystyle f(x)=3+(x+1)^{-1} (escrevi \displaystyle \frac{1}{x+1} como \displaystyle (x+1)^{-1} para aplicar a regra da potência).\n
Aplicando as regras do Passo 4:
  • Derivada de \displaystyle 3 é 0.
  • Para \displaystyle (x+1)^{-1}, uso a regra da potência com n=-1 e u(x)=x+1. Assim,
\frac{d}{dx}(x+1)^{-1} = -1\cdot (x+1)^{-2}\cdot (x+1)' = -1\cdot (x+1)^{-2}\cdot 1 = -(x+1)^{-2}.
Portanto,
f'(x)=0 - (x+1)^{-2} = -(x+1)^{-2}.
Se quiser em forma de fração:
f'(x) = -\frac{1}{(x+1)^2}.

Passo 6

Agora calculo a segunda derivada \displaystyle f''(x) derivando \displaystyle f'(x)=-(x+1)^{-2}.\n
Novamente aplico a regra da potência/chain rule: para \displaystyle (x+1)^{-2} com n=-2,
\frac{d}{dx}(x+1)^{-2} = -2\cdot (x+1)^{-3}\cdot (x+1)' = -2 (x+1)^{-3}.
Como há um sinal negativo à frente, tenho
f''(x) = -\big(-2 (x+1)^{-3}\big) = 2 (x+1)^{-3}.
Em forma de fração:
f''(x) = \frac{2}{(x+1)^3}.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas dá segurança): poderia ter usado a regra do quociente diretamente em \displaystyle f(x)=\frac{3x+4}{x+1} para obter \displaystyle f'(x) e então derivar de novo; o resultado deve coincidir com \displaystyle -\frac{1}{(x+1)^2} para a primeira derivada e com \displaystyle \frac{2}{(x+1)^3} para a segunda. A forma simplificada usada aqui evita contas a mais e é mais rápida na prova.

Resposta

\displaystyle f''(x)=\frac{2}{(x+1)^3}

Exercícios relacionados