Use regra da cadeia para calcular \nabla g(0,0) g(x, y)=f(u(x, y), v(x, y)) f(u, v)=\frac{1}{u-v} u(0,0)=3 \nabla u(0,0)=(2,6) v(0,0)=1 \nabla v(0,0)=(4,-2)
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular \nabla g(0,0), o gradiente da função g no ponto (0,0).
Informações fornecidas:
g(x,y)=f(u(x,y),v(x,y)).
f(u,v)=\dfrac{1}{u-v}.
u(0,0)=3.
\nabla u(0,0)=(2,6).
v(0,0)=1.
\nabla v(0,0)=(4,-2).
Passo 2
Entendendo o que precisamos usar (explicação didática da regra da cadeia para gradientes).
Quando temos uma função g(x,y)=f(u(x,y),v(x,y)), o gradiente de g em relação a (x,y) se obtém aplicando a regra da cadeia para derivadas parciais. A fórmula vetorial é
\nabla g(x,y) é o vetor \big(\partial g/\partial x,\;\partial g/\partial y\big).
\nabla u(x,y) é o vetor \big(\partial u/\partial x,\;\partial u/\partial y\big).
\nabla v(x,y) é o vetor \big(\partial v/\partial x,\;\partial v/\partial y\big).
\partial f/\partial u e \partial f/\partial v são as derivadas parciais de f em relação a u e v; elas são escalares que multiplicam os vetores gradiente de u e v.
Na prática: vamos calcular \partial f/\partial u e \partial f/\partial v simbolicamente, avaliá-las em (u(0,0),v(0,0)), e então combinar com \nabla u(0,0) e \nabla v(0,0).
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de f(u,v)=\dfrac{1}{u-v} simbolicamente.
Escrevemos f(u,v)=(u-v)^{-1}. Aplicando a regra da potência e a regra da cadeia interna: