Use regra da cadeia para calcular \nabla g(0,0)
g(x, y)=f(u(x, y), v(x, y))
f(u, v)=\frac{1}{u-v}
u(0,0)=3
\nabla u(0,0)=(2,6)
v(0,0)=1
\nabla v(0,0)=(4,-2)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular \nabla g(0,0), o gradiente da função g no ponto (0,0).
Informações fornecidas:
  • g(x,y)=f(u(x,y),v(x,y)).
  • f(u,v)=\dfrac{1}{u-v}.
  • u(0,0)=3.
  • \nabla u(0,0)=(2,6).
  • v(0,0)=1.
  • \nabla v(0,0)=(4,-2).

Passo 2

Entendendo o que precisamos usar (explicação didática da regra da cadeia para gradientes).
Quando temos uma função g(x,y)=f(u(x,y),v(x,y)), o gradiente de g em relação a (x,y) se obtém aplicando a regra da cadeia para derivadas parciais. A fórmula vetorial é
\nabla g(x,y)=\frac{\partial f}{\partial u}\big(u(x,y),v(x,y)\big)\,\nabla u(x,y)\;+\;\frac{\partial f}{\partial v}\big(u(x,y),v(x,y)\big)\,\nabla v(x,y).
Explicando cada peça:
  • \nabla g(x,y) é o vetor \big(\partial g/\partial x,\;\partial g/\partial y\big).
  • \nabla u(x,y) é o vetor \big(\partial u/\partial x,\;\partial u/\partial y\big).
  • \nabla v(x,y) é o vetor \big(\partial v/\partial x,\;\partial v/\partial y\big).
  • \partial f/\partial u e \partial f/\partial v são as derivadas parciais de f em relação a u e v; elas são escalares que multiplicam os vetores gradiente de u e v.
Na prática: vamos calcular \partial f/\partial u e \partial f/\partial v simbolicamente, avaliá-las em (u(0,0),v(0,0)), e então combinar com \nabla u(0,0) e \nabla v(0,0).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(u,v)=\dfrac{1}{u-v} simbolicamente.
Escrevemos f(u,v)=(u-v)^{-1}. Aplicando a regra da potência e a regra da cadeia interna:
  • Derivando em relação a u:
\frac{\partial f}{\partial u} = -1\cdot (u-v)^{-2}\cdot \frac{\partial}{\partial u}(u-v) = -(u-v)^{-2}\cdot 1 = -(u-v)^{-2}.
  • Derivando em relação a v:
\frac{\partial f}{\partial v} = -1\cdot (u-v)^{-2}\cdot \frac{\partial}{\partial v}(u-v) = -(u-v)^{-2}\cdot(-1) = (u-v)^{-2}.
Portanto,
\frac{\partial f}{\partial u}=-(u-v)^{-2},\qquad \frac{\partial f}{\partial v}=(u-v)^{-2}.

Passo 4

Avaliar as derivadas parciais no ponto dado usando u(0,0)=3 e v(0,0)=1.
Calculamos u(0,0)-v(0,0)=3-1=2. Logo (u-v)^{-2} = 2^{-2} = \dfrac{1}{4}.
Assim,
\frac{\partial f}{\partial u}\big(u(0,0),v(0,0)\big) = -\frac{1}{4}, \qquad \frac{\partial f}{\partial v}\big(u(0,0),v(0,0)\big) = \frac{1}{4}.

Passo 5

Aplicar a fórmula da regra da cadeia com os gradientes fornecidos.
A fórmula em (0,0) é
\nabla g(0,0)=\frac{\partial f}{\partial u}\big(u(0,0),v(0,0)\big)\,\nabla u(0,0) +\frac{\partial f}{\partial v}\big(u(0,0),v(0,0)\big)\,\nabla v(0,0).
Substituindo os valores:
\nabla u(0,0)=(2,6),\qquad \nabla v(0,0)=(4,-2),
e
\frac{\partial f}{\partial u}\big|_{(3,1)}=-\frac{1}{4},\qquad \frac{\partial f}{\partial v}\big|_{(3,1)}=\frac{1}{4}.
Fazendo a combinação componente a componente:
Componente x:
\left(-\frac{1}{4}\right)\cdot 2 + \left(\frac{1}{4}\right)\cdot 4 = -\frac{2}{4} + \frac{4}{4} = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}.
Componente y:
\left(-\frac{1}{4}\right)\cdot 6 + \left(\frac{1}{4}\right)\cdot (-2) = -\frac{6}{4} - \frac{2}{4} = -\frac{8}{4} = -2.

Resposta

\nabla g(0,0)=\left(\tfrac{1}{2},-2\right)

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