Use regra da cadeia para calcular g^{\prime}(0) g(x)=f(u(x), v(x)) f(u, v)=\sqrt{u^{2}+v^{2}} u(0)=4 u^{\prime}(0)=10 v(0)=3 v^{\prime}(0)=5
Passo 1
O que o problema pede e quais informações temos:
Pede-se calcular g'(0) para a função composta g(x)=f(u(x),v(x)).
As funções e dados fornecidos são:f(u,v)=\sqrt{u^{2}+v^{2}},
u(0)=4,\quad u'(0)=10,
v(0)=3,\quad v'(0)=5.
Portanto precisamos derivar a composição f(u(x),v(x)) em x=0 usando somente esses dados.
Passo 2
Ideia da regra da cadeia (explicação didática):
Quando temos uma função de duas variáveis f(u,v) e cada uma delas depende de x por u(x) e v(x), a derivada de g(x)=f(u(x),v(x)) é a soma das contribuições de cada variável interna multiplicada pela derivada dessa variável interna.
Em fórmula, a regra da cadeia diz:g'(x)=\frac{\partial f}{\partial u}(u(x),v(x))\cdot u'(x)+\frac{\partial f}{\partial v}(u(x),v(x))\cdot v'(x).
Aqui \frac{\partial f}{\partial u} é a derivada parcial de f em relação a u, ou seja, como f varia quando só u muda; análogo para \frac{\partial f}{\partial v}.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de f(u,v)=\sqrt{u^{2}+v^{2}}:
Reescrevo f como potência para facilitar a diferenciação:f(u,v)=(u^{2}+v^{2})^{1/2}.
Derivando em relação a u (tratando v como constante):\frac{\partial f}{\partial u}=\frac{1}{2}(u^{2}+v^{2})^{-1/2}\cdot 2u=\frac{u}{\sqrt{u^{2}+v^{2}}}.Explicação: apliquei a regra da cadeia para potencia — trago o expoente 1/2 e multiplico pela derivada interna 2u.
Derivando em relação a v (tratando u como constante):\frac{\partial f}{\partial v}=\frac{v}{\sqrt{u^{2}+v^{2}}}.Mesma ideia que para u.
Passo 4
Avaliar as derivadas parciais no ponto dado (u(0),v(0))=(4,3):
Primeiro calculo o radicando:\sqrt{u(0)^{2}+v(0)^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.Observação: usei os valores fornecidos u(0)=4 e v(0)=3.
A fórmula ég'(0)=\frac{\partial f}{\partial u}\bigg|_{(4,3)}\cdot u'(0)+\frac{\partial f}{\partial v}\bigg|_{(4,3)}\cdot v'(0).
Substituo os valores que já tenho:g'(0)=\frac{4}{5}\cdot 10+\frac{3}{5}\cdot 5.Aqui usei u'(0)=10 e v'(0)=5 conforme o enunciado.
Passo 6
Fazer as contas finais, passo a passo:
Calculo cada termo:\frac{4}{5}\cdot 10=\frac{40}{5}=8,
\frac{3}{5}\cdot 5=\frac{15}{5}=3.
Somando:g'(0)=8+3=11.
Passo 7
Comentário final e ânimo:
Resultado encontrado é g'(0)=11. Boa! Você aplicou a regra da cadeia para funções compostas: derivou f parcialmente, avaliou no ponto interno e multiplicou pelas derivadas das internas — é o procedimento padrão em provas.