Use regra da cadeia para calcular g^{\prime}(0)
g(x)=f(u(x), v(x))
f(u, v)=\sqrt{u^{2}+v^{2}}
u(0)=4
u^{\prime}(0)=10
v(0)=3
v^{\prime}(0)=5

Passo 1

O que o problema pede e quais informações temos:
  • Pede-se calcular g'(0) para a função composta g(x)=f(u(x),v(x)).
  • As funções e dados fornecidos são: f(u,v)=\sqrt{u^{2}+v^{2}},
u(0)=4,\quad u'(0)=10,
v(0)=3,\quad v'(0)=5.
  • Portanto precisamos derivar a composição f(u(x),v(x)) em x=0 usando somente esses dados.

Passo 2

Ideia da regra da cadeia (explicação didática):
  • Quando temos uma função de duas variáveis f(u,v) e cada uma delas depende de x por u(x) e v(x), a derivada de g(x)=f(u(x),v(x)) é a soma das contribuições de cada variável interna multiplicada pela derivada dessa variável interna.
  • Em fórmula, a regra da cadeia diz: g'(x)=\frac{\partial f}{\partial u}(u(x),v(x))\cdot u'(x)+\frac{\partial f}{\partial v}(u(x),v(x))\cdot v'(x).
  • Aqui \frac{\partial f}{\partial u} é a derivada parcial de f em relação a u, ou seja, como f varia quando só u muda; análogo para \frac{\partial f}{\partial v}.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(u,v)=\sqrt{u^{2}+v^{2}}:
  • Reescrevo f como potência para facilitar a diferenciação: f(u,v)=(u^{2}+v^{2})^{1/2}.
  • Derivando em relação a u (tratando v como constante): \frac{\partial f}{\partial u}=\frac{1}{2}(u^{2}+v^{2})^{-1/2}\cdot 2u=\frac{u}{\sqrt{u^{2}+v^{2}}}.Explicação: apliquei a regra da cadeia para potencia — trago o expoente 1/2 e multiplico pela derivada interna 2u.
  • Derivando em relação a v (tratando u como constante): \frac{\partial f}{\partial v}=\frac{v}{\sqrt{u^{2}+v^{2}}}.Mesma ideia que para u.

Passo 4

Avaliar as derivadas parciais no ponto dado (u(0),v(0))=(4,3):
  • Primeiro calculo o radicando: \sqrt{u(0)^{2}+v(0)^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.Observação: usei os valores fornecidos u(0)=4 e v(0)=3.
  • Agora: \frac{\partial f}{\partial u}\bigg|_{(4,3)}=\frac{4}{5},
\frac{\partial f}{\partial v}\bigg|_{(4,3)}=\frac{3}{5}.

Passo 5

Aplicar a fórmula da regra da cadeia em x=0:
  • A fórmula é g'(0)=\frac{\partial f}{\partial u}\bigg|_{(4,3)}\cdot u'(0)+\frac{\partial f}{\partial v}\bigg|_{(4,3)}\cdot v'(0).
  • Substituo os valores que já tenho: g'(0)=\frac{4}{5}\cdot 10+\frac{3}{5}\cdot 5.Aqui usei u'(0)=10 e v'(0)=5 conforme o enunciado.

Passo 6

Fazer as contas finais, passo a passo:
  • Calculo cada termo: \frac{4}{5}\cdot 10=\frac{40}{5}=8,
\frac{3}{5}\cdot 5=\frac{15}{5}=3.
  • Somando: g'(0)=8+3=11.

Passo 7

Comentário final e ânimo:
  • Resultado encontrado é g'(0)=11. Boa! Você aplicou a regra da cadeia para funções compostas: derivou f parcialmente, avaliou no ponto interno e multiplicou pelas derivadas das internas — é o procedimento padrão em provas.

Resposta

11

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