Use regra da cadeia para calcular \nabla u(0,0)
g(x, y)=f(u(x, y))
\nabla g(0,0)=(3,6)
f(t)=u^{2}+u
u(0,0)=1

Passo 1

O que o problema pede: calcular \nabla u(0,0).
Informações dadas:
  • \;g(x,y)=f(u(x,y)).
  • \;\nabla g(0,0)=(3,6).
  • \;f(t)=t^{2}+t. (Aqui interpretei que a variável de f é t, ou seja f(t)=t^{2}+t.)
  • \;u(0,0)=1.

Passo 2

Fórmula-chave (regra da cadeia para gradiente): para uma composição \,g(x,y)=f(u(x,y)), onde f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} e u:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}, temos
\nabla g(x,y)=f'(u(x,y))\,\nabla u(x,y).
Explicando devagar: a derivada parcial de g em relação a x é \partial_{x}g = f'(u)\,\partial_{x}u, e análogo para y. Juntando as duas coordenadas obtemos a igualdade vetorial acima. Aqui f'(u(x,y)) é um escalar que multiplica o vetor \nabla u(x,y).

Passo 3

Calcule f'(t). Como \;f(t)=t^{2}+t, derivando em relação a t obtemos
f'(t)=2t+1.
Agora avalie em t=u(0,0). Como \;u(0,0)=1,
f'(1)=2\cdot 1 + 1 = 3.

Passo 4

Aplique a fórmula do Passo 2 em (0,0):
\displaystyle \nabla g(0,0)=f'(u(0,0))\,\nabla u(0,0).
Substituindo f'(u(0,0))=3 e isolando \nabla u(0,0) obtemos
\nabla u(0,0)=\frac{1}{3}\,\nabla g(0,0).

Passo 5

Use \nabla g(0,0)=(3,6). Portanto
\nabla u(0,0)=\frac{1}{3}(3,6)=\left(\frac{3}{3},\frac{6}{3}\right)=(1,2).
Checagem rápida: multiplicando f'(1)=3 por (1,2) volta-se a (3,6), que é \nabla g(0,0). Beleza — consistente!

Resposta

(1,2)

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