Use regra da cadeia para calcular \nabla f(6,13)
g(x, y)=f(u(x, y), v(x, y))
\nabla g(3,2)=(1,1)
u(x, y)=x y
v(x, y)=x^{2}+y^{2}

Passo 1

O que o problema pede e o que nos é dado.
Pede-se calcular \nabla f(6,13).
O enunciado nos dá as seguintes informações:
g(x,y)=f\bigl(u(x,y),\,v(x,y)\bigr),
\nabla g(3,2)=(1,1),
u(x,y)=xy,
v(x,y)=x^{2}+y^{2}.
Observe que u(3,2)=6 e v(3,2)=13. Portanto o ponto (6,13) aparece como \bigl(u(3,2),v(3,2)\bigr).

Passo 2

Entendendo a regra da cadeia (explicação didática).
Se g(x,y)=f\bigl(u(x,y),v(x,y)\bigr), a regra da cadeia para derivadas parciais diz que cada derivada de g é combinação linear das derivadas parciais de f multiplicadas pelas derivadas de u e v. Explicitamente:
\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)=f_{u}\bigl(u(x,y),v(x,y)\bigr)\,u_{x}(x,y)+f_{v}\bigl(u(x,y),v(x,y)\bigr)\,v_{x}(x,y),
\frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=f_{u}\bigl(u(x,y),v(x,y)\bigr)\,u_{y}(x,y)+f_{v}\bigl(u(x,y),v(x,y)\bigr)\,v_{y}(x,y).
Aqui f_{u} e f_{v} são as derivadas parciais de f em relação às suas primeiras e segundas variáveis; u_{x} significa \partial u/\partial x, etc. A ideia intuitiva: pequenas mudanças em x afetam u e v, e essas mudanças combinam-se para produzir a mudança em g.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de u e v (passo técnico).
Derivando u(x,y)=xy:
u_{x}(x,y)=y,\qquad u_{y}(x,y)=x.
Derivando v(x,y)=x^{2}+y^{2}:
v_{x}(x,y)=2x,\qquad v_{y}(x,y)=2y.

Passo 4

Avaliar essas derivadas no ponto (3,2).
Substituindo x=3 e y=2:
u_{x}(3,2)=2,\qquad u_{y}(3,2)=3,
v_{x}(3,2)=2\cdot 3=6,\qquad v_{y}(3,2)=2\cdot 2=4.

Passo 5

Escrever as equações usando a informação \nabla g(3,2)=(1,1).
Defina as incógnitas
a:=f_{u}(6,13),\qquad b:=f_{v}(6,13).
Aplicando as fórmulas da regra da cadeia em (3,2) e usando os valores de u_x,u_y,v_x,v_y obtidos:
\frac{\partial g}{\partial x}(3,2)=a\cdot u_{x}(3,2)+b\cdot v_{x}(3,2)=a\cdot 2 + b\cdot 6,
\frac{\partial g}{\partial y}(3,2)=a\cdot u_{y}(3,2)+b\cdot v_{y}(3,2)=a\cdot 3 + b\cdot 4.
Como \nabla g(3,2)=(1,1), temos o sistema
\begin{cases} 2a+6b=1,\\[4pt] 3a+4b=1. \end{cases}]

Passo 6

Resolver o sistema linear (eliminação).
Vou eliminar a. Multiplico a segunda equação por 2 e subtraio da primeira multiplicada por 3:
\text{(primeira)}\times 3: \; 6a+18b=3,
\text{(segunda)}\times 2: \; 6a+8b=2.
Subtraindo as duas equações:
(6a+18b)-(6a+8b)=3-2 \implies 10b=1 \implies b=\tfrac{1}{10}.
Agora obtenho a usando, por exemplo, 3a+4b=1:
3a+4\cdot \tfrac{1}{10}=1 \implies 3a+\tfrac{2}{5}=1 \implies 3a=\tfrac{3}{5} \implies a=\tfrac{1}{5}.

Passo 7

Interpretar o que encontramos.
Lembre que a=f_{u}(6,13) e b=f_{v}(6,13). Então as derivadas parciais de f no ponto (6,13) são:
f_{u}(6,13)=\tfrac{1}{5},\qquad f_{v}(6,13)=\tfrac{1}{10}.
O vetor gradiente de f em (6,13) é formado por essas derivadas parciais (na ordem das variáveis de f): \nabla f(6,13)=\bigl(f_{u}(6,13),\,f_{v}(6,13)\bigr).

Resposta

\displaystyle \nabla f(6,13)=\left(\tfrac{1}{5},\tfrac{1}{10}\right)

Exercícios relacionados