Use regra da cadeia para calcular
Passo 1
O que o problema pede e o que nos é dado.
Pede-se calcular
.
O enunciado nos dá as seguintes informações:
Observe que
e
. Portanto o ponto
aparece como
.
Passo 2
Entendendo a regra da cadeia (explicação didática).
Se
, a regra da cadeia para derivadas parciais diz que cada derivada de
é combinação linear das derivadas parciais de
multiplicadas pelas derivadas de
e
. Explicitamente:
Aqui
e
são as derivadas parciais de
em relação às suas primeiras e segundas variáveis;
significa
, etc. A ideia intuitiva: pequenas mudanças em
afetam
e
, e essas mudanças combinam-se para produzir a mudança em
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
e
(passo técnico).
Derivando
:
Derivando
:
Passo 4
Avaliar essas derivadas no ponto
.
Substituindo
e
:
Passo 5
Escrever as equações usando a informação
.
Defina as incógnitas
Aplicando as fórmulas da regra da cadeia em
e usando os valores de
obtidos:
Como
, temos o sistema
Passo 6
Resolver o sistema linear (eliminação).
Vou eliminar
. Multiplico a segunda equação por
e subtraio da primeira multiplicada por
:
Subtraindo as duas equações:
Agora obtenho
usando, por exemplo,
:
Passo 7
Interpretar o que encontramos.
Lembre que
e
. Então as derivadas parciais de
no ponto
são:
O vetor gradiente de
em
é formado por essas derivadas parciais (na ordem das variáveis de
):
.